TSP问题 MTSP 双调TSP 商旅问题 中国邮差问题 担货郎问题
1.1 TSP商旅问题 coj1133（TSP是NP难问题一般只会到16）
题意：某乡有n个村庄(16>n>1)，有一个售货员，他要到各个村庄去售货，各村庄之间的路程s(1000>s>0)是已知的，且A村到B村与B村到A村的路大多不同。为了提高效率，他从商店出发到每个村庄一次，然后返回商店所在的村，假设商店所在的村庄为1，他不知道选择什么样的路线才能使所走的路程最短。请你帮他选择一条最短的路。
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int SIZE= 16;
const int MAX= 1000*SIZE;
int dp[SIZE+2][(1<<SIZE)+10], w[SIZE+3][SIZE+3];
int run(int n, int s)
{
int sta= 1<<(n+1);
for(int i= 0; i<= n; i++)
for(int j= 0; j< sta; j++) dp[i][j]= MAX;
dp[s][1<<s]= 0;
//对于n个点会有2^(n+1)种状态
//代表的状态
for(int i= 0; i< sta; ++i)
for(int j= 0; j<= n; ++j)
{
//1<<j==2^j
//右移位j个单位判断当前状态i城市是否在考虑范围中
if(((1<<j)&i)== 0) continue;
for(int k= 0; k<= n; ++k)
{
//如果点没有访问过且可以更新
if(((1<<k)&i)== 0 )
dp[k][(1<<k)|i]= min(dp[k][(1<<k)|i],dp[j][i]+ w[j][k]);
}
}
return dp[n][sta-1];
}
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d", &n))
{
for(int i= 0; i< n; i++)
{
for(int j= 0; j< n; j++)
scanf("%d", &w[i][j]);
//拆点，因为最后形成的是环，所以将第一个点加到后面n
//如果跑了一遍最短路就可以不用拆点
w[i][n]= w[i][0];
}
int ans= run(n, 0);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
1.2 双调TSPpoj2677
题意：双调TSP指的就是从最左边的城市出发，从左往右遍历一些城市，到达最右端，再从最右端从右往左返回出发城市，然后最优化某些东西。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAX 0x7fffff
using namespace std;
const int maxn=211;
struct
{
int x,y;
}a[maxn];
int n;
double d[maxn][maxn],p[maxn][maxn];
void qsort(int l,int r)
{
int i=l,j=r,mid=a[(i+j)>>1].x;
while (i<j)
{
while (a[i].x<mid) i++;
while (mid<a[j].x) j--;
if (i<=j)
{
swap(a[i].x,a[j].x);
swap(a[i].y,a[j].y);
i++; j--;
}
}
if (l<j) qsort(l,j);
if (i<r) qsort(i,r);
}
double cnt(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
int x=(x1-x2)*(x1-x2);
int y=(y1-y2)*(y1-y2);
return sqrt(x+y);
}
void work_p()
{
for (int i=1;i<n;i++)
for (int j=i+1;j<=n;j++)
p[i][j]=p[j][i]=cnt(a[i].x,a[i].y,a[j].x,a[j].y);
}
void DP()
{
d[1][1]=0;
for (int i=2;i<=n;i++)
d[i][1]=p[i][1];
for (int i=2;i<n;i++)
{
d[i+1][i]=MAX;
for (int j=1;j<=i-1;j++)
{
d[i+1][j]=d[i][j]+p[i][i+1];
d[i+1][i]=min(d[i+1][i],d[i][j]+p[j][i+1]);
}
}
}
int main()
{
//freopen("data.in","r",stdin);
//freopen("data.out","w",stdout);
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
qsort(1,n);
work_p();
DP();
printf("%.2lf\n",d[n][n-1]+p[n][n-1]);
}
return 0;
}
1.3 Mtsp问题 hdu4281
摘自：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7961869
题目大意:给定n个地点的坐标和每个地点的权值，即一张图n个点，点有点权边有边权。现在裁判在点1，需要分配这些裁判到这些点去，已知每个裁判能够到点权之和不大于m，而且一个点不能由两个裁判访问。现在给出两个问题，1、最少几个裁判可以覆盖所有点 2、给定无数个裁判，怎么样访问这些点使得总边权和最小，裁判访问完必须回到1点，而且一个裁判访问的点权之和不能超过m。
解题思路： 昨天天津赛区的1004题，比赛的时候都想到了算法，就是不敢去敲，一直在想稳妥的算法，最终没有ac。
晚一点和其他学校的acmer交流聊到这题，就想着要不要去试下，如果不行的话明天去搜论文，因为这是很经典的mTSP问题。但是没想到竟然ac了，神奇得ac了，坑爹地ac了，复杂度O(2^(2*n)+(2^n*n^2))，排名还很靠前。ac完想到的第一句话不是终于ac而是：尼玛,中山大学就喜欢这么暴力么?..
有可能不是正解，但还是写下思路，感觉两个问题都很经典。
第一问：求最少的裁判覆盖这些点，思路是先将2^n种地点的选择集合压缩成2^n个物品，物品的权值为集合内的点权之和，如果总和<=m，那么他是一种合法的组合，存起来。这样就得到tot种合法组合，对这tot种组合进行01背包，dp[i]表示容量为i时的最小费用，和常规的背包不同，但本质是一样的。状态转移方程:dp[i] = min(dp[i],dp[j]+1) (j为i的子集,i = j | state[k]并且j和state[k]没有交集，state[k]表示第k个合法物品)
PS：后来发现这一问其实用贪心就可以解决，每次都选最大的，直到本次不能选为止，看能选几次.
第二问：多旅行商问题即mTsp，感觉挺经典的，思路是将mtsp转化成普通的tsp，然后再将各个tsp合并成答案。先要O(2^n*n^2)的预处理得到np[i]表示一个裁判走的集合为i的所有地点又回到最初的点的最少权值和，然后np[i] = min(np[i],np[k|(1<<0)]+np[(i-k)|(1<<0)])(i必须包含0节点，因为子集可能不含0节点，所以要和1<<0或起来，这样才是将两个裁判所走的边权和合并)。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MIN (1<<17)
#define MAX 110000
#define INF (1<<29)
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
int tot, ans1, ans2, n, m; //总合法物品数，第一、第二问答案
int x[20], y[20], val[20]; //左边和点权
int dp[MAX], state[MIN]; //第一问用到
int map[20][20], isok[MIN]; //边权、合法物品集合
int cost[17][MIN], np[MIN]; //第二问用到
void Initial()
{
int i, j, k;
tot = 0;
memset(map, 0, sizeof (map));
for (i = 0; i < (1 << n); ++i)
dp[i] = np[i] = INF;
for (i = 0; i <= n; ++i)
for (j = 0; j < (1 << n); ++j)
cost[i][j] = INF;
cost[0][1] = 0;
}
int cmp1(int a, int b)
{
return a > b;
}
int Solve_Tanxin()
{
int i, j, k, mmin = INF;
int tp[20], vis[20];
for (i = 0; i < n; ++i)
vis[i] = 0, tp[i] = val[i];
sort(tp, tp + n, cmp1);
for (i = 1; i <= n; ++i)
{
int rest = m;
for (j = 0; j < n; ++j)
if (!vis[j] && tp[j] <= rest)
rest -= tp[j], vis[j] = 1; ;
for (j = 0; j < n && vis[j] == 1; ++j);
if (j == n) return i;
}
return INF;
}
int Solve_First()
{
int i, j, k, mmin = INF;
dp[0] = 0;
for (i = 0; i < tot; ++i)
for (j = (1 << n) - 1; j >= 0; --j)
{
if (dp[j] == INF) continue;
int st = j + state[i];
if (st != (j | state[i])) continue;
dp[st] = min(dp[st], dp[j] + 1);
}
return dp[(1 << n) - 1];
}
void GetDist()
{
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = i + 1; j < n; ++j)
{
double xx = x[i] - x[j];
double yy = y[i] - y[j];
xx *= xx, yy *= yy;
map[i][j] = map[j][i] = ceil(sqrt(xx + yy));
}
}
int ok(int x)
{
int sum = 0, i;
for (i = 0; i < n; ++i)
if (x & (1 << i)) sum += val[i];
return sum <= m;
}
int TSP_Second()
{
int i, j, k;
GetDist();
for (i = 1; i < (1 << n); ++i)
if (isok[i])
{
for (j = 0; j < n; ++j)
if (i & (1 << j))
{
np[i] = min(np[i], cost[j][i] + map[j][0]);
for (k = 0; k < n; ++k)
if ((i & (1 << k)) == 0)
cost[k][i | (1 << k)] = min(cost[k][i | (1 << k)], cost[j][i] + map[j][k]);
}
}
/*要保证第一个点是老师的点。因为可能在tsp的时候从任意点出发的
但是题目要求第一个点出发，所以如果求的时候不是第一个点那么就
加上到第一个点的距离，在判断tsp */
for (i = 1; i < (1 << n); ++i)
if (i & 1) for (j = (i - 1) & i; j; j = (j - 1) & i)
np[i] = min(np[i], np[j | 1] + np[(i - j) | 1]);
return np[(1 << n) - 1];
}
int main()
{
int i, j, k;
while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
{
Initial();
for (i = 0; i < n; ++i)
scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
for (i = 0; i < n; ++i)
scanf("%d", &val[i]);
for (i = 1; i < (1 << n); ++i)
{
isok[i] = ok(i);
if (isok[i]) state[tot++] = i;
}
ans1 = Solve_Tanxin();
//ans1 = Solve_First();
if (ans1 == INF)
ans1 = ans2 = -1;
else ans2 = TSP_Second();
printf("%d %d\n", ans1, ans2);
}
}