波利亚

波利亚
贺贤孝
(辽宁师范大学)
　　波利亚，G．(Polga，George)1887年12月13日生于匈牙利布达佩斯；1985年9月7日卒于美国加利福尼亚州帕洛阿尔托(Palo Alto)．数学、数学教育与数学方法论．
　　乔治·波利亚的父亲雅可布(Jakob)是一名律师．他的兄长尤金(Eugene)比他大11岁，是著名的外科医生，现在的一种胃外科手术就是以他命名的．年轻的波利亚在布达佩斯的一所预科学校(即大学预备中学)读书时，有浓厚的学习兴趣，经常名列前茅．曾参加过两个自学小组——数理组和文学组．但数学教师给他的印象不好，所以他对数学并不十分感兴趣．当时，许多人参加一项颇有影响的埃特沃斯数学竞赛，它是以匈牙利杰出的物理学家L．埃特沃斯(Etvs)命名的，这种竞赛的开展使匈牙利产生了一批世界第一流的数学家．波利亚在别人的劝说下参加了这项竞赛，不但没有获胜，甚至连试卷都没交上．他的拉丁语、匈牙利语教师都是些一流的教师，这使他对文学特别感兴趣，尤其喜欢德国大诗人H．海涅(Heine)的作品，曾将海涅的诗作译成匈牙利文而获奖．他因为与海涅有相同的生日——12月13日而感到自豪，后来甚至组织了一个“13日生日俱乐部”，将出生在13日的朋友与同事组织在一起．
　　因为他的学业成绩优秀，1905年波利亚进入布达佩斯大学学习，他的母亲安娜·波利亚(Anna Polya)竭力劝他从事他父亲的法律职业，他便遵从母亲的意愿到布达佩斯大学的法学院学习，但是只坚持了一个学期，便对学习法律感到厌倦．一度想改学生物学，在他兄长劝阻下，放弃了这个念头，而改学语言与文学．两年后他通过了教师资格证书考试，可以在预科学校低年级——学生年龄在10岁到14岁之间——教拉丁语和匈牙利语，但他从未使用过这个证书．此时，波利亚又将兴趣转向哲学，他的哲学课老师亚历山大(Alexander)教授认为学习物理与数学有助于对哲学的理解，因而劝他将这两门课程作为他学习哲学的一部分，从此波利亚开始认真学习物理与数学．1977年他90岁时回忆这一段学习情况说：“事实上，我不是直接选中数学这一行的．我对物理和哲学更有兴趣，……我认为我并不擅长搞物理，但很适合于搞哲学，数学则介于两者之间．”在布达佩斯大学读书期间，物理学家埃特沃斯教授是他的物理课教师，给予波利亚以很大的影响．但影响最大的是匈牙利数学家L．费耶尔(Fejér)，他在傅里叶级数方面有很大的贡献．费耶尔经常与他的学生们坐在布达佩斯的咖啡馆里讨论解决一些重要的数学问题，并且讲述他所知道的数学家的故事，结果吸引了相当一部分天才学生进入他的数学圈．这些学生中，除波利亚外，还有后来成为著名数学家的P．爱尔特希(Erd s)、G．赛格(Szeg )、O．萨斯(Szász)、M．费克特(Fe-kete)、M．里斯(Riesz)、J．艾盖尔瓦里(Egerváry)、F．卢卡茨(Lukacz)、T．拉多(Rado)、P．图兰(Turán)等．
　　1910—1911年整整一学年，波利亚是在维也纳大学度过的．1912年回布达佩斯大学接受哲学博士学位，学位论文的题目是“概率论计算中的一些问题及其有关的定积分”(Some questions ofthe calculus of probability，and some definite integrals asso-ciated with it)．获得博士学位后，波利亚先后在格丁根大学(1912—1913年)以及巴黎大学(1914年)从事博士后研究工作．结识了格丁根大学的著名数学家F．克莱因(Klein)、D．希尔伯特(Hilbert)、K．龙格(Runge)、E．兰道(Landau)等，在巴黎见到了法国数学家E．皮卡(Picard)和J．阿达马(Hada-mard)．这些数学家对波利亚后来的研究工作都产生了很大影响．
　　1914年秋，他接受了德国数学家A．胡尔维茨(Hurwitz)的邀请，去苏黎世的瑞士联邦工学院任教，从此开始了他的教学生涯．
　　第一次世界大战期间，他曾想入伍服兵役．但因年幼时，踢足球腿部受伤而留下后遗症，兵役检查后，被拒绝参军．后来局势严重起来，兵源大量缺乏，匈牙利军方要求他从瑞士回来申请入伍，但他已经深受英国数学家和哲学家、公开的反战论者B．罗素(Russell)的影响，拒绝服兵役，这使他长期不能再回匈牙利．
　　1918年波利亚与斯特拉·韦伯(Stella Vera Weber)结婚，斯特拉是瑞士人，纳沙泰尔大学的一位物理教授的女儿，从此，波利亚建立了一个美满的家庭，夫妇共同生活长达67年．波利亚没有子女．斯特拉生长于讲法语的瑞士西部，因此她讲法语，婚后波利亚夫妇居住在讲德语的瑞士北部地区，于是波利亚生活在三种语言环境中，正投合他对语言的爱好．波利亚能够用匈牙利语、法语、德语、意大利语、英语和丹麦语6种语言写作论文，此外，他还在学校里正规地学习过拉丁语和希腊语．
　　1924年在英国数学家G．H．哈代(Hardy)的推荐下，波利亚作为国际洛克菲勒学会成员去英国逗留了一年，曾先后访问牛津大学、剑桥大学等著名高等学府．在此期间参加了由哈代与J．E．李特尔伍德(Littlewood)主持的经典著作《不等式》(Inequalities)的写作，此书在1934年由剑桥大学出版社出版．
　　1928年在瑞士联邦工学院，波利亚破格直接晋升为教授．
　　在20世纪30年代，波利亚就一系列数学问题与法国数学家G．朱利亚(Julia)进行过密切合作．1933年他再次获得洛克菲勒的资助去美国普林斯顿大学访问．这一年夏天，又接受了丹麦出生的美国数学家H．F．布利克弗尔特(Blichfeldt)的邀请，访问了美国加利福尼亚的斯坦福大学．
　　1940年，欧洲正在卷入第二次世界大战，波利亚决定离开瑞士，经葡萄牙首都里斯本转道去了美国．当时欧洲各国学术界人士为躲避纳粹德国的迫害，纷纷逃离欧洲蜂拥入美国，使得在美国找到合适的工作很困难．波利亚先在布朗大学任客座教授两年，然后接受了斯坦福大学的聘任．1942年1月，他的夫人去美国西海岸加利福尼亚的帕洛阿尔托购买了他们的寓所，开始了他们在美国的定居生活．
　　1953年，波利亚从斯坦福大学退职．但他继续从事教学与写作，对教师的培训工作越来越感兴趣，并在一些师范院校任教．他热爱教学工作．直至1978年93岁高龄时，仍亲自讲课．除了本文在后面还要详述的几部解题研究与数学方法论的书以外，1974年他与G．拉塔(Latta)合作撰写了复变量的教科书，与J．基尔帕特里克(Kilpatrick)合著《斯坦福数学问题集》(The stanfordmathematics problem book，1974)．他还著有《科学中的数学方法》(Mathematical methods in science，1963)、《组合学导引的札记》(Notes on introductory combinatorics，1984)等．
　　波利亚漫长一生的最后几年里视力极度下降，就借助于有放大作用的阅读机继续坚持阅读并回答别人的问题，甚至还想学习计算机．他不断地向别人述说：“我的数学兴趣还没有完！”
　　由于科学上所取得的众多成就，他先后成为法国科学院、美国艺术与科学研究院、匈牙利科学院、美国科学院的院士以及布鲁塞尔的国际哲学与科学协会的会员．他还是伦敦数学协会、瑞士数学学会、纽约科学院等的名誉成员．
　　为了表彰波利亚的特殊贡献，1963年美国数学协会(MAA)授予他数学杰出贡献奖(The award for distinguished serviceto mathematics)．1968年在美国教育影片图书馆协会(Educa-tional film library association)举办的第10届电影节上，因为用他的讲演制作的影片“让我们教猜想”(Let us teach guessing)而授予他蓝绶最高奖．
　　为了纪念波利亚，美国工业与应用数学学会设立了组合理论及其应用的波利亚奖，由美国数学协会提供了大学数学杂志的波利亚写作奖，由美国数学教师委员会提供了数学竞赛的波利亚奖(1978—1980)．他曾长期工作的斯坦福大学命名了一座“波利亚楼”(Polya Hall)，在数学图书馆里悬掛了他的肖像，这是馆内唯一的科学家肖像．斯坦福大学还出版了他的论文集．1977年《图论杂志》(Journal of Graph Theory)为庆祝他90寿辰而专门发行特刊．
　　波利亚的数学研究的最显著特点是他有极为广泛的兴趣，他在概率论、组合数学、图论、几何、代数、数论、函数论、微分方程、数学物理等领域都有过建树．他撰写(包括与他人合作)的250多篇论文，被收集整理成四卷本的论文集，由美国麻省理工学院出版社出版(前两卷在1974年出版，后两卷在1984年出版)．当有人问及为什么他对差异如此之大的数学分支进行研究时，他回答说：“是受了我的老师以及当时的数学风尚的影响，后来又受到自己发现兴趣的驱使．”
　　1．概率论
　　如前所述，1912年他提交了概率论方面的博士论文，由于当时在布达佩斯没有人对概率论感兴趣，因此他的这篇论文是在没有得到导师帮助的情况下写成的．此后，他开始了对概率论的一系列富有成效的研究．早期工作主要涉及几何概率方面．有人认为，波利亚是第一个在论著中使用“中心极限定理”这一术语的人．波利亚还进一步研究了概率论中的特征函数，提出所谓的“波利亚准则”．他的一个典型的例子——罐子模型(the Polya urn sche-me)，即在一个罐子中，放有r个红球和b个黑球，当随机取出一个球后，就另外取来与其同色的c个球代替它而放入罐子中．这个模型经常用来描述蔓延现象，它的一个分支就是所谓的波利亚分布．
　　波利亚对概率论最重要的贡献是他在1921年发表的有关随机游动的论文．他首创了术语“随机游动”(random walk)．所谓随机游动问题指的是，在一个无穷大平面内，有两组等距离的平行直线，这两组直线互相垂直，这像一幅规则整齐的城市街道图：所有楼区大小一样，街道交叉成直角．设有一个人站在街道中的某一个拐角处．他可以有四个不同的走向：东、西、南、北．选择 一个楼区时，仍面临同样的情况，这就是二维的随机游动．而一维的随机游动是在一条数轴上，一个动点从整数点开始的向前或向后走动，方 动，赌币的两个面中的哪一个面向上相当于点的向前或向后，因而决定了赌博的赢或输．一般地，考虑用互相正交的直线将d维格点(d个坐标都是整数的d维空间的点)连结起来，构成d维格网，在每一个格点上都有d条直线相交，因而有2d个方向可供选择，选择每一方向的概率是1／2d．在1921年的论文中，他证明了一个引人注意的定理：在一维与二维格网中，只要次数足够大，任意游动的点必定返回到它的起始点；但在更高维的格网中，这并不是必然发生的．波利亚曾将二维随机游动的这一结论形象地说成：“平面上的道路条条通罗马！”1964年在纽约世界博览会上，国际商用机器公司(IBM)在它的展览厅内当众演示了随机游动．
　　2．函数论
　　虽然波利亚在概率论方面的成就是引人注目的，但他的最深奥、最艰难的工作要算复变函数论了．特别是全平面内没有奇点的单值整函数的研究．在这个领域中所使用的术语，例如“波利亚峰”、“波利亚表示”和“波利亚间隙定理”就表明了波利亚在这一领域中所做出的贡献．
　　1914年他和德国犹太数学家I．舒尔(Schur)合作引进了波利亚-舒尔函数，包括I．J．舍恩伯格(Schoenberg)样条函数逼近工作．1957年，波利亚与舍恩伯格提出了一个有关幂级数的猜想：能够将单位圆映入凸区域的两个幂级数的阿达马积，仍是一个具有同样性质的幂级数．这就是著名的波利亚-舍恩伯格猜想．经过一些数学家的不懈努力，15年后，在1973年由德国维尔茨堡的S．路什科威(Ruscheweyh)和英国约克的T．小希尔(Sheil-small)合作下最后获得证明．舍恩伯格在1947年解决了一个矩问题，它与波利亚在1915年的一篇论文有关，为此舍恩伯格引进了一些频率函数，并称之为波利亚频率函数．
　　波利亚在函数论方面最重要的工作是有关函数零点的结果，它与著名的黎曼猜想密切相关．1919年的论文“数论的种种评论”(Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheone)提出了一个猜想，被称为波利亚猜想，即：“对每个x＞1，在不超过x的正整数中，含有奇数个素数因子(不一定是不同的)的整数个数不少于含有偶数个素数因子的整数个数．”在很长时期里，人们都认为波利亚猜想是正确的．直到1958年，C．B．哈兹尔格罗夫(Haselgrove)从理论上证明了存在着无穷多个反例，1962年R．S．莱曼(Lehman)找到了一个具体反例：906 180 359，从而推翻了波利亚猜想．发表于1926年的波利亚的另一篇论文“关于黎曼ξ函数的积分表示的评论”(Bemerkung ber die Integraldarstellung derRiemannschen ξ-Funktion)明显地涉及了黎曼猜想，虽然失败了，但却导致了统计方法的重大进展．
　　3．组合数学
　　1935年，波利亚对化学中同分异构体进行了研究，表现了他对对称性的极大兴趣．自从19世纪初发现了同分异构体后，关于同分异构体的计数问题长期得不到解决．直到1874年，同时出现了三篇有关的论文，其一是德国籍化学家W．孔那(Korner)的，讨论苯的取代物的同分异构体；其二是荷兰化学家J．H．范霍夫(Van’thoff)的，讨论有机化合物的同分异构体；其三是英国数学家A．凯莱(Cayley)的，运用树图并引入母函数来研究同分异构体的计数问题．到了20世纪30年代，美国化学家又在这方面做了更多的计算．但是这些方法都是针对个别情况而缺乏普遍性．在前人研究同分异构体计数问题的基础上，波利亚在1937年以“关于群、图与化学化合物的组合计算方法”(KombinatorischeAnzahlbestimmungen f r Gruppen，Graphen und ChemischeVerbindungen)为题，发表了长达110页、在组合数学中具有深远意义的著名论文．在这篇论文中推广了伯恩赛德(Burnside)引理，给出了普遍适用的一般计数方法．实际上，第一个提出这一理论的是美国一位工程师J．H．雷德菲尔德(Redfield)，他在1927年发表的论文“群化分布的理论”(The theory of groupredu-ced distribution)中解决了某种矩阵的计数问题．由于雷德菲尔德所使用的数学名词不普遍，因而这篇论文几乎没有引起人们的注意．波利亚的工作更全面、更丰富，其主要定理现已称为“波利亚计数定理”(Polya’s enumeration theorem)写入组合数学的教材中，它提供了强有力的和巧妙的(对于那些仅有初等数学知识的人来说又是易于理解的)方法，对图及化合物进行计数．
　　4．等周问题
　　在20世纪40年代后期，波利亚撰写了一些有关微分方程的论文以及数学物理方面的一系列论文．其中有些内容，后来出现在与赛格合著的书《数学物理中的等周不等式》(Isoperimetricinequalities in mathematical physics)中．他的有关等周问题、振动模以及特征值的一系列工作一直持续到1960年．最古老的等周问题要追溯到远古，即所谓狄多(Dido)①(①狄多，希腊传说中迦太基著名的建国者，古代泰尔(Tyre)国古腓尼基南部之一海港，在今黎巴嫩)国王的女儿．)题：在面积给定的情况下，求周长最小的平面区域，或等价地说成，用给定的周长围成最大面积的平面区域．随着数学物理的发展，产生了许多类似的问题．最著名的一个是由L．雷利(Rayleigh)提出来的：在鼓膜面积给定的条件下，它应具有什么形状，使震动的频率最小？很明显，这个问题与狄多问题一样，应取圆形．但是要证明它却并非易事．狄多问题的最精巧的、直观的解法是由瑞士几何学家J．斯坦纳(Steiner)给出的“对称法”．波利亚认为同样的方法也可以运用于类似的几何与数学物理问题中，并给出了雷利问题的最优美的解答．
　　5．几何与数论
　　早在1913年，波利亚就描述了下面这样一条皮亚诺(Peano)曲线，它通过一个区域中的每一个点至多三次．众所周知，这样的曲线必须有至少三重点，但波利亚证明了，这样的曲线并不必须有更高重数的点，这一结论是很重要的．
　　波利亚对于数论的贡献主要体现在解析数论领域、各种渐近公式、k幂剩余以及非剩余问题等．
　　波利亚曾经教过中学，长期从事大学数学教学工作．退休后，又从事中学数学教师的培训工作．在漫长的岁月中，他的精湛的教学艺术与杰出的数学研究相结合，产生了他特有的丰富的数学教育思想．
　　波利亚数学教育思想有两个基点：其一是关于对数学科学的认识，他认为数学有二重性，它既是欧几里得式的演绎科学，但在创造与认识过程中，它又是一门实验性的归纳科学．其二是关于对数学学习的认识，他认为生物发生律(也称重演律)可以运用于数学教学与智力开发，为此他在1962年发表了题为“数学教学与生物发生律”(The teaching of mathematics and the biogeneticlaw)的论文， 1965年又在《数学的发现》(Mathematical disco-very)一书中进一步强调人类的后代学习数学应重走人类认识数学的重大几步．基于这种思想他对数学史、对许多著名数学家如欧几里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)、R．笛卡儿(De-scartes)、C．F．高斯(Gauss)，尤其是L．欧拉(Euler)的论文进行了深入研究，认真剖析他本人及当代人发现数学定理及其证明的认识过程，体察人类认识数学的思想、方法与途径，从而提出了一些重大的数学教育思想与方法论原理．
　　1963年，他在《美国数学月刊》(The American Mathemati-cal Monthly)撰文提出了著名的数学教学与学习的心理三原则，即主动学习原则、最佳动机原则以及阶段循序原则．波利亚认为教师在学生的课堂学习中，仅仅是“助产士”，他的主导作用在于引导学生自己去发现尽可能多的东西；引导学生积极地参与提出问题、解决问题．他认为科学地提出问题需要更多的洞察力和创造性，很可能成为一项发现的重要组成部分，而学生一旦提出了问题，那么他们解决问题的注意力更集中，主动性会更强烈．教师的教学应立足于学生的主动学习，这就是主动性原则．但他又认为如果学习者缺少活动的动机，那么也不会有所行动．波利亚认为对所学材料产生兴趣是最好的学习刺激，而紧张的思维活动后所感受到的快乐是对这种活动的最好奖赏．这就是最佳动机原则．波利亚根据生物发生律的思想，将数学学习过程由低级到高级分成三个不同阶段：(1)探索阶段，是人类的活动与感受阶段，处于直观水平；(2)形式化阶段，引入术语、定义、证明，上升到概念水平；(3)同化阶段，将所学的知识消化、吸收、融汇于学习者的整体智力结构中．每一个人的思维必须有序地通过这三个阶段，这就是阶段循序原则．
　　他认为在课程设计及其教学时，“生物发生律”不仅可以决定应教什么内容与理论，而且还可以预见到用什么样的先后顺序和适当方法来讲授这些内容与理论．据此，1965年正当“新数运动”方兴未艾时，他提出了尖锐的反对意见．他说先讲集合、群论等现代数学的东西，再学传统数学内容，无异于让婴儿先学开汽车，再让他学会走路．直到1977年在回答“你希望今后若干年内数学教育应朝什么方向发展”的问题时，仍激烈地坚持“离开新数学轨道，离得越远越好”．
　　波利亚年轻时就对初等教育感兴趣．他不但获取过教拉丁语、匈牙利语的证书，而且还拿到过在预科学校各年级教数学、物理、甚至教哲学的教师资格证书．
　　波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考．1914年他在苏黎世时，就准备研究数学解题的规律，用德文写了一个大纲，后来在英国数学家哈代的启发下，1944年在美国出版了《怎样解题》(How to solve it)，其中“怎样解题”表总结了人类解决数学问题的一般规律和程序，对数学解题研究有着深远影响．迄今此书已销售一百万册，被译成至少17种语言广为传播，可说是一部现代数学名著．他随后又写了两部这类书．其一是1954年出版的两卷本《数学与合情推理》(Mathematics and plausible reasoning)，再次阐述了在《怎样解题》以及其他论文中所提到的启发式原理，被译成6种语言．其二是出版了两卷本的《数学的发现》(Mathematical discovery)，1962年出版第一卷，1965年出版第二卷，1981年又合成一卷再版，被译成8种语言．这些书籍一经出版，立刻在美国引起轰动，很快风行世界，使波利亚成为当代的数学方法论、解题研究与启发式教学的先躯．“按波利亚的风格”、“波利亚的方法”成了世界各地数学教师的口头禅或专门用语．70与80年代，我国陆续翻译出版了波利亚的上述著作，随之在我国掀起一股“波利亚热”，促进了我国数学教学的改革，提高了我国数学解题研究的水平．
　　能集中表现他的数学解题思想与方法的另一部名著是他与赛格合著的《数学分析中的问题和定理》(Aufgaben und Lehrs tzeaus der Analysis)．大约在1913年波利亚偶尔回国到布达佩斯大学访问，在这里遇到了比他小8岁、正在学习的赛格．他们志趣相投，赛格证明了波利亚的一个关于傅里叶系数的猜想，从此，赛格成为波利亚长期合作的同事与朋友．赛格在1918年获得了维也纳大学的博士学位．他们合作的第一部书就是两卷本的《数学分析中的问题和定理》，于1925年出版德文版．它并不是一部普通的习题集而是一部极负盛名的著作，其新颖之处在于不是按内容而是按解题方法编排的，用意在于激励读者(特别是大学数学系高年级的学生)在数学分析的几个重要领域中进行独立的思考与工作，并养成有用的思维习惯．1935年，苏联出版了此书的俄文版；1972年，第一卷英文版出版；1976年，第二卷英文版出版．中文版的第一、二卷分别在1981年、1985年由上海出版．半个多世纪以来，此书一直是许多研究课题的重要来源，是各类试题的几乎取之不尽的源泉，在数学教育界堪称一绝．
　　1959年，波利亚以“数学作为学习合情推理的学科”为题，在美国《数学教师》(The Mathematics Teacher)杂志上发表论文，提出“合情推理”概念，认为在数学研究与数学教学中合情推理占有很重要的地位．随后在《数学与合情推理》第二卷中，进一步阐述了合情推理及其模式．波利亚的合情推理是指借助于归纳、类比、限定、推广、猜测、检验等思维活动来认识事物、发现真理的推理形式．其英文词是“plausible reasoning”，直译为“似乎可靠的推理”．例如，我们知道，如果命题A可推出命题B，且命题A是真的，则命题B必真．反过来，如果命题B是真的，那么能否推出命题A为真呢？演绎推理不能回答这个问题．但波利亚认为，B真对增大A真的可能性会产生影响，他认为若A可推出B1，B2，…，且B1，B2，…都真，则A将大大提高了可靠性．由于他在合情推理中使用了“命题的可靠性”概念，因此，很想利用概率论方法来研究合情推理，但是他遇到了困难．虽然如此，仍不愧为对数学方法论的重要贡献，著名学者A．舍恩费尔德(Schoenfeld)认为，它将对人工智能起作用(1987年)．
　　波利亚极其关心中学数学教师的培养，退休后亲自主持了一些教师培训班，制定了培训计划与课程．他主张课程要加强与初等数学的联系，自始至终要强调方法论，要突出启发式推理和历史来源．他建议：
　　(1)培训数学教师时应该向他们提供独立工作的机会，其难度要适当，其形式可采取解题方法讨论班或其他合适的形式．
　　(2)教法课必须紧密地与课程内容或教学实习相联系，讲授教学法课的大学讲师必须至少掌握硕士一级的数学知识，并且要有数学研究工作经验以及教学实际经验．
　　由于他在数学教育上的杰出工作，1980年被邀请担任第四届国际数学教育大会的名誉主席，并发表了题为“数学增进智力”的书面致词．
　　当代数学家N．G、德布鲁因(de Bruijn)这样评价他：“波利亚是对我的数学活动影响最大的数学家．他的所有研究都体现出使人愉快的个性、令人惊奇的鉴赏力、水晶般清晰的方法论、简捷的手段、有力的结果．如果有人问我，想成为什么样的数学家，我会毫不迟疑地回答：波利亚．”