读书笔记之组合数学——卡特兰数

卡特兰数：

标准形式：C0,C1,C2,……,Cn,……

其中          Cn=1/(n+1)*C(2n,n) (n=0,1,2,……)

定理：        n个+1和n个-1构成的2n项：a1,a2,……,a2n

其中部分和满足:a1+a2+……+ak>=0(k=1,2,……,2n)

的数列的个数等于第n个卡特兰数：Cn=1/(n+1)*C(2n,n) (n=0,1,2,……)

例题1：有2n个人排成一行进入剧场，入场费5元。2n个人中的n个人有5元钞票，n个人有10元钞票。问有多少种队列方法使得只要有10元的人购票就找5元钞票。

解：如果把这些人看成是不可区分的，那么将5元用+1标识而10元用-1标识那么答案就是定理所说的的可接受序列：Cn=1/(n+1)*C(2n,n)

如果这些人被看成是可区分的，那么答案就是：

An=(n!)*(n!)*1/(n+1)*C(2n,n)=((2n)!)/(n+1)

因为对于n个五元和n个10元构成的每一个序列，存在5元人内部排序有n!10元人内部排序n!种排序。

例题2：一个大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区工作，每天他要走2n个街区才能上班，如果他从来不穿越从家到办公室的对角线，那么，有多少条可能的道路？

解：每条可接受的路线不是在对角线的上面就是在对角线的下面，我们求出对角线上面的线路数，并乘以2.么条路线都是向北n个街区和向东n个街区的序列。我们用+1标识向北，用-1标识向东，于是，每天线路对应一个n个+1和n个-1的序列a1,a2,……,a2n

为了使路线不落到对角线的下面，有∑ai≥0

所以答案就是2Cn

卡特兰数1阶齐次递推关系：Cn/C(n-1)=(4n-2)/(n+1) 初始条件C0=1

 

拟-卡特兰数

标准形式:C1*,C2*,……,Cn*……

其中    Cn*=n!Cn-1(n=1,2,3,……)初始条件C1*=1!(1)=1

递推公式： Cn*=n！Cn-1=n!(4n-6)/n*Cn-2=(4n-6)(n-1)!Cn-2=(4n-6)Cn-1*

通项公式：Cn*=(n-1)!C(2n-2,n-1)=(2n-2)!/(n-1)!(n≥1)

例题3：令a1,a2,……,an为n个数。我们说这些数的乘法格式是指进行a1,a2,……,an的乘法的方案，一个乘法格式需要两数间的n-1次乘法，这两数中的每一或者是a1,a2,……,an之一，或者是他们的部分乘积，令hn表示n个数的乘法格式的数目。

由于：(a1*a2)和(a2*a1)是两个不同的方案，因此h1=1和h2=2。

解：h3=12(交换律成立的条件下)三个数的每一个乘法格式都需要两次乘法，每次乘法又对应一套圆括号。这些外层的圆括号能使我们用一组括号分辨每一个乘法。一般来说，每个乘法格式都可以通过以某种顺序序列而后插入n-1对括号是的每一队括号都制定两个因子的乘法而达到。但是为了得出hn的递推关系，我们以归纳的方式来考察它。对a1,a2,……,an的每一种格式均对a1,a2,……,an-1的格式以恰好下列方法之一得到：

方案1：取a1,a2,……,an-1的一种乘法格式，将an插入到n-2个乘法之一的两个因子中的任一个因子的两侧中的一侧。于是，n-1个序列的每一种格式都用这种方法给出n个数的2*2*(n-2)种格式

方案2：取a1,a2,……,an-1的乘法格式用an乘它的左边或者右边。于是，n-1个数的每一种格式均以这种方式给出n个数的两种格式

所以递推式hn=(4n-6)h(n-1)即拟-卡特兰数。

假设(a1*a2)和(a2*a1)不在计入不同的方案，那么内部排序就要去除即：

Gn=hn/n!=Cn*/n!=1/n*C(2n-2,n-1)=Cn-1

具体参见组合数学第四版第八章8.1