[置顶] Delaunay三角剖分算法

 

1. 三角剖分与Delaunay剖分的定义
     如何把一个散点集合剖分成不均匀的三角形网格，这就是散点集的三角剖分问题，散点集的三角剖分，对数值分析以及图形学来说，都是极为重要的一项预处理技术。该问题图示如下：

 

 1.1.三角剖分定义
    【定义】三角剖分：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：
    1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。
    2.没有相交边。
    3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散点集V的凸包。
1.2.  Delaunay三角剖分的定义
    在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。先从Delaunay边说起：
    【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
    【定义】Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
1.3.Delaunay三角剖分的准则
    要满足Delaunay三角剖分的定义，必须符合两个重要的准则：
    1、空圆特性：Delaunay三角网是唯一的（任意四点不能共圆），在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。如下图所示：

    2、最大化最小角特性：在散点集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲，Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线，在相互交换后，六个内角的最小角不再增大。如下图所示：

1.4.Delaunay三角剖分的特性
    以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：
    1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。
    2.唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。
    3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。
    4.最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。
    5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。
    6.具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。
1.5.局部最优化处理
    理论上为了构造Delaunay三角网，Lawson提出的局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角网经过LOP处理，即可确保成为Delaunay三角网，其基本做法如下所示：
    1.将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。
    2.以最大空圆准则作检查，看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。
    3.如果在，修正对角线即将对角线对调，即完成局部优化过程的处理。
    LOP处理过程如下图所示：

2.Delaunay剖分的算法
    Delaunay剖分是一种三角剖分的标准，实现它有多种算法。
2.1.Lawson算法
    逐点插入的Lawson算法是Lawson在1977年提出的，该算法思路简单，易于编程实现。基本原理为：首先建立一个大的三角形或多边形，把所有数据点包围起来，向其中插入一点，该点与包含它的三角形三个顶点相连，形成三个新的三角形，然后逐个对它们进行空外接圆检测，同时用Lawson设计的局部优化过程LOP进行优化，即通过交换对角线的方法来保证所形成的三角网为Delaunay三角网。
    上述基于散点的构网算法理论严密、唯一性好，网格满足空圆特性，较为理想。由其逐点插入的构网过程可知，遇到非Delaunay边时，通过删除调整，可以构造形成新的Delaunay边。在完成构网后，增加新点时，无需对所有的点进行重新构网，只需对新点的影响三角形范围进行局部联网，且局部联网的方法简单易行。同样，点的删除、移动也可快速动态地进行。但在实际应用当中，这种构网算法当点集较大时构网速度也较慢，如果点集范围是非凸区域或者存在内环，则会产生非法三角形。
2.2.Bowyer-Watson算法 
    Lawson算法的基本步骤是：
    1、构造一个超级三角形，包含所有散点，放入三角形链表。
    2、将点集中的散点依次插入，在三角形链表中找出其外接圆包含插入点的三角形（称为该点的影响三角形），删除影响三角形的公共边，将插入点同影响三角形的全部顶点连接起来，从而完成一个点在Delaunay三角形链表中的插入。
    3、根据优化准则对局部新形成的三角形进行优化。将形成的三角形放入Delaunay三角形链表。
    4、循环执行上述第2步，直到所有散点插入完毕。
    这一算法的关键的第2步图示如下：