POJ 2154 Color polya计算+欧拉优化

题意:给出两个整数n和p,代表n个珠子,n种颜色,要求不同的项链数,翻转置换不考虑。结果模p.

题解:

我们知道gcd(i,n)表示了循环节的个数。例如gcd(2,6) = 2, 它的具体过程为:[1,3,5] [2,4,6]

对于任意一个循环置换,他所有循环节的长度为 n / gcd(i,n),在上面的例子中: 循环节长度 = 6 / gcd(2,6) = 3


为了方便说明,用L表示循环节的长度,显然 L | n

如果我们枚举L,求出对于每一个L有多少个i, 使得 L = n / gcd (i,n), 那么我们实际上也得到了循环节个数为 n / L 的置换个数。


L = n / gcd (i,n)转换一下得到:n / L = gcd(i,n )

设 cnt = n / L = gcd(i, n)  注:cnt表示循环节个数,L表示每一个循环节的长度

因为 cnt | i, 所以可令 i = cnt * t; ( 因为0 <= i < n, 所以0 <= t < n / cnt = L )

又因为 cnt = n / L, 所以 n = cnt * L;

则 gcd ( i, n ) = gcd ( cnt*t, cnt*L ) = cnt;  ①

可知当 gcd ( t, L ) = 1 时 ① 式成立。

由于 gcd ( t, L ) = 1 的个数就是 Euler(L)的个数,

所以我们可以得到结论:循环节个数为n/L的置换有Euler(L)个


PS:这题时间压的比较紧,用__int64会超时。

#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define MAXN 100009
int a[MAXN], p[MAXN], pn;
int eul[MAXN];

void prime ()
{
    int i, j; pn = 0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for ( i = 2; i < MAXN; i++ )
    {
        if ( a[i] == 0 ) p[pn++] = i;
        for ( j = 0; j < pn && i * p[j] < MAXN && (p[j]<=a[i] || a[i]==0); j++ )
            a[i*p[j]] = p[j];
    }
}

void Euler ()
{
    eul[1] = 1;
    for ( int i = 2; i < MAXN; i++ )
    {
        if ( a[i] == 0 )
            eul[i] = i - 1;
        else
        {
            int k = i / a[i];
            if ( k % a[i] == 0 ) eul[i] = eul[k] * a[i];
            else eul[i] = eul[k] * ( a[i] - 1 );
        }
    }
}

int Euler ( int n, int m )
{
    if ( n < MAXN )
        return eul[n] % m;
    int ret = n;
    for ( int i = 0; i < pn && p[i] * p[i] <= n; i++ )
    {
        if ( n % p[i] == 0 )
        {
            ret = ret - ret / p[i];
            while ( n % p[i] == 0 ) n /= p[i];
        }
    }
    if ( n > 1 )
        ret = ret - ret / n;
    return ret % m;
}

int mod_exp ( int a, int b, int m )
{
    int ret = 1;
    a = a % m;
    while ( b >= 1 )
    {
        if ( b & 1 )
            ret = ret * a % m;
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

int Polya ( int n, int m )
{
    int ret = 0;
    for ( int l = 1; l*l <= n; l++ )
    {
        if ( n % l ) continue;
        ret = (ret + Euler(l,m) * mod_exp(n, n/l-1, m)) % m;
        if ( l * l == n ) break;
        ret = (ret + Euler(n/l,m) * mod_exp(n, l-1, m)) % m;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    int n, m, cs;
    prime(); Euler();
    scanf("%d",&cs);
    while ( cs-- )
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",Polya(n,m));
    }
    return 0;
}




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