多校BIT 1001Inverting Cups (模线性方程的应用或找规律)

 

本题可以通过求解模线性方程来解决。题目的最终任务是将所有杯子翻转，所以每个杯子被翻转次数一定是奇数次。我们不妨设第i个杯子被翻转次数为 2*ki+1，翻转总次数为n，则依题意可以列出如下方程

         Sum(2*ki+1) = B*n，整理可得  2*Sum(ki) + A =  B*n

         我们不妨设Sum(ki)= K， 则上式可化为 2*K + A = B*n;

         也就是求一个最小的n，使得 B*n – 2*K = A

         对应莫线性方程为 B*n = A mod 2。

         但是解出上方程最小的 n 并不能作为结果，因为题目本身存在对于K的限制，首先因为 K = Sum(ki)，且 ki >= 0，所以K>=0，同时作为翻杯子的合法解，必须有所有的 2*ki + 1 <= n。也就是对于最大的ki有 2*ki<=n 成立，由于每次翻杯子与杯子的次序没有关系，所以我们可以贪心的认为让ki尽可能接近为最优，这样对于K的约束可以化为使得 2*((K+a-1)/a)+1<=n（贪心后ki最大为K/a向上取整，这里不能整理，整理之后会出错，只要还是取整除法的问题）成立，于是我们在求出一组原方程的特解之后，可以枚举或二分通解，找出满足约束的最小解即为答案。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int x,y;
long long euclid(long long a,int b)//b*n=a%2
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=euclid(b,a%b);
    int yy=y;
    y=x-a/b*y;x=yy;
    return d;
}

int main ()
{
    long long a,b;
    int n;
    while (scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF )
    {
        if((a&1) && !(b&1)){printf("No Solution!\n"); continue ;}
        if(a==b){printf("1\n");continue;}
        long long d=euclid(b,2);
        n=x*a/d%2;
        //printf("%lld  %lld  %lld  %lld\n",n,x,y,d);
        for ( ; (2*(((b*n-a)/2+a-1)/a)+1)>n || b*n-a<0; n+=2/d);
        //printf("%lld %lld\n",2*(((b*n-a)/2+a-1)/a)+1,n);
        printf("%d\n",n);
        //cout<<n<<endl;
    }
    return 0;
}

 找规律的方法

r	b	q	最优解的运动次数
0			q
非0偶数	奇数		q+2
	偶数	q = 1	3
		q>= 2	q+1
奇数	奇数	q = 1	2
		q>=2	q+1
	偶数		无解

 

#include <stdio.h>

int main ()
{
    //freopen ("cups.in","r",stdin);
    unsigned long long a,b,r,q;
    while (scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF )
    {
        if((a&1) && !(b&1)){printf("No Solution!\n"); continue ;}
        r=a%b;q=a/b;
        if(!r){printf("%lld\n",q);continue;}
        if(r&1) {
            if(q==1)printf("%lld\n",2*((b+3*r-1)/(2*r)));
            else printf("%lld\n",q+1);
        }
        else {
            if(b&1)printf("%I64d\n",q+2);
            else if(q==1)printf("3\n");
            else printf("%lld\n",q+1);
        }
    }
    return 0;
}