[置顶] 分治法最近点对问题

在二维平面上的n个点中，如何快速的找出最近的一对点，就是最近点对问题。

    一种简单的想法是暴力枚举每两个点，记录最小距离，显然，时间复杂度为O(n^2)。

    在这里介绍一种时间复杂度为O(nlognlogn)的算法。其实，这里用到了分治的思想。将所给平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果这两个点分别在S1和S2中，问题就变得复杂了。

    为了使问题变得简单，首先考虑一维的情形。此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1，x2，...，xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。显然可以先将点排好序，然后线性扫描就可以了。但我们为了便于推广到二维的情形，尝试用分治法解决这个问题。

    假设我们用m点将S分为S1和S2两个集合，这样一来，对于所有的p(S1中的点)和q(S2中的点)，有p<q。

    递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设

d = min{ |p1-p2| , |q1-q2| }

    由此易知，S中最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{q3,p3}，如下图所示。

 

    如果最接近点对是{q3,p3}，即|p3-q3|<d，则p3和q3两者与m的距离都不超过d，且在区间(m-d,d]和(d,m+d]各有且仅有一个点。这样，就可以在线性时间内实现合并。

    此时，一维情形下的最近点对时间复杂度为O(nlogn)。

    在二维情形下，类似的，利用分治法，但是难点在于如何实现线性的合并？

 

    由上图可见，形成的宽为2d的带状区间，最多可能有n个点，合并时间最坏情况下为n^2,。但是，P1和P2中的点具有以下稀疏的性质，对于P1中的任意一点，P2中的点必定落在一个d X 2d的矩形中，且最多只需检查六个点（鸽巢原理）。

    这样，先将带状区间的点按y坐标排序，然后线性扫描，这样合并的时间复杂度为O(nlogn)，几乎为线性了。

 

    光说不练也不行，经过自己的思考和参考网上的程序，完成了最近点对的程序，并在各OJ上成功AC了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std ;
const int  maxn = 1000001 ;
const int  INF = 1000000001 ;
struct Point
{
	double x , y ;
}point[ maxn ] ;
int n ;
int temp[ maxn ];

bool cmp(const  Point& a , const Point& b )
{
	if( a.x == b.x )
		return  a.y < b.y ;
	else
		return a.x < b.x ;
}

bool cmpy( const int& a , const int& b )
{
	return point[ a ].y < point[ b ].y ;
}

double min( double a , double b )
{
	return a < b ? a : b ;
}

double dist( int i , int j )
{
	return sqrt( (point[ i ].x - point[ j ].x) * ( point[ i ].x - point[ j ].x ) + ( point[ i ].y - point [ j ].y ) * ( point[ i ].y - point[ j ].y ) ) ;
}

double merge( int left , int right )
{
	double d = INF ;
	if( left == right )
		return d ;
	if( left + 1 == right )
		return dist( left , right ) ;

	int mid = ( left + right ) >> 1 ;
	double d1 = merge( left , mid ) ;
	double d2 = merge( mid + 1 , right ) ;
	d = min( d1 , d2 ) ;
	int i , j , k = 0 ;
	for( i = left ; i <= right ; ++i )
	{
		if( fabs( point[ mid ].x - point[ i ].x ) <= d )
			temp[ k++ ] = i ;
	}
	sort( temp , temp + k , cmpy ) ;
	for( i = 0 ; i < k ; ++i )
		for( j = i + 1 ; j < k &&  point[ temp[ j ] ].y - point[ temp[ i ] ].y  < d ; ++j )
		{
			double d3 = dist( temp[ i ] , temp[ j ] ) ; 
			if( d > d3 )
				d = d3 ;
		}
	return d ;
}

int main()
{
	while( scanf( "%d" , &n ) && n )
	{
		for(int  i = 0 ; i < n ; ++i )
		{
			scanf( "%lf%lf" , &point[ i ].x , &point[ i ].y ) ;
		}
		sort( point , point + n , cmp ) ;
		printf( "%.2lf\n" , merge( 0 , n - 1 ) / 2 ) ;
	}
	return 0 ;
}