数理逻辑--归纳与演绎

演绎推理： 

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归纳推理：

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常用的证明方法以及分类：

1 综合法
综合法是一种从题设到结论的逻辑推理方法，也就是由因导果的证明方法。
2 分析法
分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。分析法的证明路径与综合法恰恰相反。
3 反证法
由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。
反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：
1) 归谬法、若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。
2）穷举法、若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。
前三种方法也叫演绎法。都是按照“从一般到特殊”的思维过程进行推理的。
4 归纳法
归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是从个别性知识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论。它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律。
归纳法有如下几类：
1）不完全归纳法
所谓不完全归纳法就是通过对某类事物的真子集逐个进行考察，发现它们具有某种性质，就大胆预见某类事物具有某种性质。
2） 完全归纳法
完全归纳法也叫枚举归纳法。某类事物可分为有限种情况，如果通过逐个考察，各种情况都具有某种性质，则可以归纳地得出结论，某类事物均具有某种性质。
3） 数学归纳法
如果某类事物有可数无限多种情况，就无法逐个考察各种情况都具有某种性质。数学归纳法是一种用递推的办法，通过“有限”解决“无限”的一种方法，它是用归纳法证明命题的巨大飞跃。其要点是：记关于自然数N的命题为p(n)，
第一数学归纳法。若
（1） p(m)为真（其中m为某一确定的自然数）
（2） p(k)为真蕴含p(k+1)为真(其中k为不小于m的任一自然数)
则对一切不小于m的自然数n，p(n)为真。
第二数学归纳法。如果
（1） p(m)为真（其中m为某一确定的自然数）
（2） 对任一不小于m的自然数k，m=<j=<k，p(j)为真蕴含p(k+1)为真
则对一切不小于m的自然数n，p(n)为真。
5 类比法
也叫“比较类推法”， 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。简称类推、类比。或者由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。
如声和光有不少属性相同--直线传播，有反射、折射和干扰等现象；由此推出：既然声有波动性质，光也有波动性质。这就是类比推理。类比推理具有或然性。
类比法的特点是“先比后推”。“比”是类比的基础，“比”既要共同点也要“比”不同点。对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同点的对象之间是无法进行类比推理的。