独立成分分析（Independent Component Analysis）

1. 问题：

     1、上节提到的PCA是一种数据降维的方法，但是只对符合高斯分布的样本点比较有效，那么对于其他分布的样本，有没有主元分解的方法呢？

     2、经典的鸡尾酒宴会问题（cocktail party problem）。假设在party中有n个人，他们可以同时说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。宴会过后，我们从n个麦克风中得到了一组数据，i表示采样的时间顺序，也就是说共得到了m组采样，每一组采样都是n维的。我们的目标是单单从这m组采样数据中分辨出每个人说话的信号。

     将第二个问题细化一下，有n个信号源，，每一维都是一个人的声音信号，每个人发出的声音信号独立。A是一个未知的混合矩阵（mixing matrix），用来组合叠加信号s，那么

    

     x的意义在上文解释过，这里的x不是一个向量，是一个矩阵。其中每个列向量是，

     表示成图就是

    

     这张图来自

     http://amouraux.webnode.com/research-interests/research-interests-erp-analysis/blind-source-separation-bss-of-erps-using-independent-component-analysis-ica/

    

     的每个分量都由的分量线性表示。A和s都是未知的，x是已知的，我们要想办法根据x来推出s。这个过程也称作为盲信号分离。

     令，那么

     将W表示成

    

     其中，其实就是将写成行向量形式。那么得到：

    

2. ICA的不确定性（ICA ambiguities）

     由于w和s都不确定，那么在没有先验知识的情况下，无法同时确定这两个相关参数。比如上面的公式s=wx。当w扩大两倍时，s只需要同时扩大两倍即可，等式仍然满足，因此无法得到唯一的s。同时如果将人的编号打乱，变成另外一个顺序，如上图的蓝色节点的编号变为3,2,1，那么只需要调换A的列向量顺序即可，因此也无法单独确定s。这两种情况称为原信号不确定。

     还有一种ICA不适用的情况，那就是信号不能是高斯分布的。假设只有两个人发出的声音信号符合多值正态分布，，I是2*2的单位矩阵，s的概率密度函数就不用说了吧，以均值0为中心，投影面是椭圆的山峰状（参见多值高斯分布）。因为，因此，x也是高斯分布的，均值为0，协方差为。

     令R是正交阵，。如果将A替换成A’。那么。s分布没变，因此x’仍然是均值为0，协方差。

     因此，不管混合矩阵是A还是A’，x的分布情况是一样的，那么就无法确定混合矩阵，也就无法确定原信号。

3. 密度函数和线性变换

     在讨论ICA具体算法之前，我们先来回顾一下概率和线性代数里的知识。

     假设我们的随机变量s有概率密度函数（连续值是概率密度函数，离散值是概率）。为了简单，我们再假设s是实数，还有一个随机变量x=As，A和x都是实数。令是x的概率密度，那么怎么求？

     令，首先将式子变换成，然后得到，求解完毕。可惜这种方法是错误的。比如s符合均匀分布的话（），那么s的概率密度是，现在令A=2，即x=2s，也就是说x在[0,2]上均匀分布，可知。然而，前面的推导会得到。正确的公式应该是

    

     推导方法

    

    

     更一般地，如果s是向量，A可逆的方阵，那么上式子仍然成立。

4. ICA算法

     ICA算法归功于Bell和Sejnowski，这里使用最大似然估计来解释算法，原始的论文中使用的是一个复杂的方法Infomax principal。

     我们假定每个有概率密度，那么给定时刻原信号的联合分布就是

    

     这个公式代表一个假设前提：每个人发出的声音信号各自独立。有了p(s)，我们可以求得p(x)

    

     左边是每个采样信号x（n维向量）的概率，右边是每个原信号概率的乘积的|W|倍。

     前面提到过，如果没有先验知识，我们无法求得W和s。因此我们需要知道，我们打算选取一个概率密度函数赋给s，但是我们不能选取高斯分布的密度函数。在概率论里我们知道密度函数p(x)由累计分布函数（cdf）F(x)求导得到。F(x)要满足两个性质是：单调递增和在[0,1]。我们发现sigmoid函数很适合，定义域负无穷到正无穷，值域0到1，缓慢递增。我们假定s的累积分布函数符合sigmoid函数

    

     求导后

    

     这就是s的密度函数。这里s是实数。

     如果我们预先知道s的分布函数，那就不用假设了，但是在缺失的情况下，sigmoid函数能够在大多数问题上取得不错的效果。由于上式中是个对称函数，因此E[s]=0（s的均值为0），那么E[x]=E[As]=0，x的均值也是0。

     知道了，就剩下W了。给定采样后的训练样本，样本对数似然估计如下：

     使用前面得到的x的概率密度函数，得

    

     大括号里面是。

     接下来就是对W求导了，这里牵涉一个问题是对行列式|W|进行求导的方法，属于矩阵微积分。这里先给出结果，在文章最后再给出推导公式。

    

     最终得到的求导后公式如下，的导数为（可以自己验证）：

    

     其中是梯度上升速率，人为指定。

     当迭代求出W后，便可得到来还原出原始信号。

     注意：我们计算最大似然估计时，假设了与之间是独立的，然而对于语音信号或者其他具有时间连续依赖特性（比如温度）上，这个假设不能成立。但是在数据足够多时，假设独立对效果影响不大，同时如果事先打乱样例，并运行随机梯度上升算法，那么能够加快收敛速度。

     回顾一下鸡尾酒宴会问题，s是人发出的信号，是连续值，不同时间点的s不同，每个人发出的信号之间独立（和之间独立）。s的累计概率分布函数是sigmoid函数，但是所有人发出声音信号都符合这个分布。A（W的逆阵）代表了s相对于x的位置变化，x是s和A变化后的结果。

5. 实例

    

     s=2时的原始信号

    

     观察到的x信号

    

     使用ICA还原后的s信号

6. 行列式的梯度

     对行列式求导，设矩阵A是n×n的，我们知道行列式与代数余子式有关，

    

     是去掉第i行第j列后的余子式，那么对求导得

    

     adj(A)跟我们线性代数中学的是一个意思，因此

    

7. ICA算法扩展描述

     上面介绍的内容基本上是讲义上的，与我看的另一篇《Independent Component Analysis:

Algorithms and Applications》（Aapo Hyvärinen and Erkki Oja）有点出入。下面总结一下这篇文章里提到的一些内容（有些我也没看明白）。

     首先里面提到了一个与“独立”相似的概念“不相关（uncorrelated）”。Uncorrelated属于部分独立，而不是完全独立，怎么刻画呢？

     如果随机变量和是独立的，当且仅当。

     如果随机变量和是不相关的，当且仅当

     第二个不相关的条件要比第一个独立的条件“松”一些。因为独立能推出不相关，不相关推不出独立。

     证明如下：

    

    

    

     反过来不能推出。

     比如，和的联合分布如下(0,1)，(0,-1)，(1,0)，(-1,0)。

    

     因此和不相关，但是

    

     因此和不满足上面的积分公式，和不是独立的。

     上面提到过，如果是高斯分布的，A是正交的，那么也是高斯分布的，且与之间是独立的。那么无法确定A，因为任何正交变换都可以让达到同分布的效果。但是如果中只有一个分量是高斯分布的，仍然可以使用ICA。

     那么ICA要解决的问题变为：如何从x中推出s，使得s最不可能满足高斯分布？

     中心极限定理告诉我们：大量独立同分布随机变量之和满足高斯分布。

    

     我们一直假设的是是由独立同分布的主元经过混合矩阵A生成。那么为了求，我们需要计算的每个分量。定义，那么，之所以这么麻烦再定义z是想说明一个关系，我们想通过整出一个来对进行线性组合，得出y。而我们不知道得出的y是否是真正的s的分量，但我们知道y是s的真正分量的线性组合。由于我们不能使s的分量成为高斯分布，因此我们的目标求是让y（也就是）最不可能是高斯分布时的w。

     那么问题递归到如何度量y是否是高斯分布的了。

     一种度量方法是kurtosis方法，公式如下：

    

     如果y是高斯分布，那么该函数值为0，否则绝大多数情况下值不为0。

     但这种度量方法不怎么好，有很多问题。看下一种方法：

     负熵（Negentropy）度量方法。

     我们在信息论里面知道对于离散的随机变量Y，其熵是

    

     连续值时是

    

     在信息论里有一个强有力的结论是：高斯分布的随机变量是同方差分布中熵最大的。也就是说对于一个随机变量来说，满足高斯分布时，最随机。

     定义负熵的计算公式如下：

    

     也就是随机变量y相对于高斯分布时的熵差，这个公式的问题就是直接计算时较为复杂，一般采用逼近策略。

    

     这种逼近策略不够好，作者提出了基于最大熵的更优的公式：

    

     之后的FastICA就基于这个公式。

     另外一种度量方法是最小互信息方法：

    

     这个公式可以这样解释，前一个H是的编码长度（以信息编码的方式理解），第二个H是y成为随机变量时的平均编码长度。之后的内容包括FastICA就不再介绍了，我也没看懂。

 

8. ICA的投影追踪解释（Projection Pursuit）

     投影追踪在统计学中的意思是去寻找多维数据的“interesting”投影。这些投影可用在数据可视化、密度估计和回归中。比如在一维的投影追踪中，我们寻找一条直线，使得所有的数据点投影到直线上后，能够反映出数据的分布。然而我们最不想要的是高斯分布，最不像高斯分布的数据点最interesting。这个与我们的ICA思想是一直的，寻找独立的最不可能是高斯分布的s。

     在下图中，主元是纵轴，拥有最大的方差，但最interesting的是横轴，因为它可以将两个类分开（信号分离）。

    

9. ICA算法的前处理步骤

     1、中心化：也就是求x均值，然后让所有x减去均值，这一步与PCA一致。

     2、漂白：目的是将x乘以一个矩阵变成，使得的协方差矩阵是。解释一下吧，原始的向量是x。转换后的是。

     的协方差矩阵是，即

    

     我们只需用下面的变换，就可以从x得到想要的。

    

     其中使用特征值分解来得到E（特征向量矩阵）和D（特征值对角矩阵），计算公式为

    

     下面用个图来直观描述一下：

     假设信号源s1和s2是独立的，比如下图横轴是s1，纵轴是s2，根据s1得不到s2。

    

     我们只知道他们合成后的信号x，如下

    

     此时x1和x2不是独立的（比如看最上面的尖角，知道了x1就知道了x2）。那么直接代入我们之前的极大似然概率估计会有问题，因为我们假定x是独立的。

     因此，漂白这一步为了让x独立。漂白结果如下：

    

     可以看到数据变成了方阵，在的维度上已经达到了独立。

     然而这时x分布很好的情况下能够这样转换，当有噪音时怎么办呢？可以先使用前面提到的PCA方法来对数据进行降维，滤去噪声信号，得到k维的正交向量，然后再使用ICA。

 

10. 小结

     ICA的盲信号分析领域的一个强有力方法，也是求非高斯分布数据隐含因子的方法。从之前我们熟悉的样本-特征角度看，我们使用ICA的前提条件是，认为样本数据由独立非高斯分布的隐含因子产生，隐含因子个数等于特征数，我们要求的是隐含因子。

     而PCA认为特征是由k个正交的特征（也可看作是隐含因子）生成的，我们要求的是数据在新特征上的投影。同是因子分析，一个用来更适合用来还原信号（因为信号比较有规律，经常不是高斯分布的），一个更适合用来降维（用那么多特征干嘛，k个正交的即可）。有时候也需要组合两者一起使用。这段是我的个人理解，仅供参考。