编辑距离

一、问题描述

设A和B是两个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。这里所说的字符操作包括：

<wbr>（1）删除一个字符；</wbr>

<wbr>（2）插入一个字符；</wbr>

<wbr>（3）将一个字符改为另一个字符；</wbr>

<wbr>将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离，记为d(A,B)。试设计一个有效算法，对任给的两个字符串A和B，计算出它们的编辑距离d(A,B)。</wbr>

<wbr></wbr>

二、分析解答

设所给的两个字符串为A[1:m]和B[1:n]。定义D[i][j]=d(A[1:i],B[1,j])。单字符a,b间的距离定义为：

d(a,b)=0 (a=b)

d(a,b)=1(a!=b)

考察从字符串A[1:i]到字符串B[1:j]的变换。可分成以下几种情况：
（1）字符A[i]改为字符B[j]；需要d(A[i],B[j])次操作。

（2）删除字符A[i]；需要1次操作。

（3）插入字符B[j]；需要1次操作。
因此，D[i][j]可递归地计算如下。

D[i][j]=min{D[i-1][j-1]+d(A[i],B[j]),D[i-1][j]+1,D[i][j-1]+1}。

<wbr></wbr>

三、算法描述

int dist(A[0…m-1],B[0…n-1])

{

int D[0…m,0…n]

int i,j,cost

对于i等于0至m

D[i, 0]=i

对于j等于0至n

D[0,j]=j

对于i等于1至m

<wbr><wbr><wbr>对于j等于1至n</wbr></wbr></wbr>

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>若 A[i-1]=B[j-1]则cost=0 否则 cost=1</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>D[i][j]=min(D[i-1,j]+1,//删除</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>D[i,j-1]+1,//插入</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>D[i-1,j-1]+cost//替换</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

<wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr><wbr>)</wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr></wbr>

返回d[m,n]

}

<wbr></wbr>

四、代码实现

定义一个二维数组D[][]存储中间结果，如下图所示，为已经初始化后的情况。然后从D[1,1]开始从左到右，从上到下依次按填表，表的最后一个元素D[m,n]就是要求的最终结果。

<wbr></wbr>	0	1	2	3	4	5	6
0	0	1	2	3	4	5	6
1	1	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>
2	2	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>
3	3	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>
4	4	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>
5	5	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>
6	6	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>	<wbr></wbr>

<wbr></wbr>

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int D[100][100];
int dis[100];
int min(int a,int b,int c)
{
    return c<(a>b?b:a)?c:(a>b?b:a);
}
int dist(char * A,char * B)
{
    int m=strlen(A);
    int n=strlen(B);
    int i,j;

    for(i=0;i<=m;++i)
    {
        D[i][0]=i;
    }
    for(j=0;j<=n;++j)
    {
        D[0][j]=j;
    }
    int cost;
    for(i=1;i<=m;++i)
    {
        for(j=1;j<=n;++j)
        {
            if(A[i-1]==B[j-1])
                cost=0;
            else
                cost=1;
            D[i][j]=min(D[i-1][j-1]+cost,D[i-1][j]+1,D[i][j-1]+1);
        }
    }
    return D[m][n];
}
int dist2(char * A,char * B)
{
    int m=strlen(A);
    int n=strlen(B);
    int i,j;
    for(i=0;i<=n;++i)
        dis[i]=i;
    int cost;
    for(i=1;i<=m;++i)
    {
        int y=i-1;
        for(j=1;j<=n;++j)
        {
            int x=y;
            y=dis[j];
            int z=j>1?dis[j-1]:i;
            cost=A[i-1]==B[j-1]?0:1;
            dis[j]=min(x+cost,y+1,z+1);
        }
    }
    return dis[n];
}
int main(int argc, char* argv[])
{    
    char * ch1="bcdefghijklmnopq";
    char * ch2="abcdefghijklmnopadfsafwe";
    cout<<dist(ch1,ch2)<<endl;
    cout<<dist2(ch1,ch2)<<endl;
    return 0;
}

package net.hr.algorithm.stroper;   
/**
* 字符串编辑距离
*
* 这是一种字符串之间相似度计算的方法。
* 给定字符串S、T，将S转换T所需要的插入、删除、替代操作的数量叫做S到T的编辑路径。
* 其中最短的路径叫做编辑距离。
*
* 这里使用了一种动态规划的思想求编辑距离。
*
* @author heartraid
*
*/  
public class StrEditDistance {   
  
    /**字符串X*/  
    private String strX="";   
    /**字符串Y*/  
    private String strY="";   
    /**字符串X的字符数组*/  
    private char[] charArrayX=null;   
    /**字符串Y的字符数组*/  
    private char[] charArrayY=null;   
       
    public StrEditDistance(String sa,String sb){   
        this.strX=sa;   
        this.strY=sb;   
     }   
    /**
      * 得到编辑距离
      * @return 编辑距离
      */  
    public int getDistance(){   
         charArrayX=strX.toCharArray();   
         charArrayY=strY.toCharArray();   
        return editDistance(charArrayX.length-1,charArrayY.length-1);   
}   
    /**
      * 动态规划解决编辑距离
      *
      * editDistance(i,j)表示字符串X中[0.... i]的子串 Xi 到字符串Y中[0....j]的子串Y1的编辑距离。
      *
      * @param i 字符串X第i个字符
      * @param j 字符串Y第j个字符
      * @return 字符串X(0...i)与字符串Y(0...j)的编辑距离
      */  
    private int editDistance(int i,int j){   
        if(i==0&&j==0){   
            //System.out.println("edit["+i+","+j+"]="+isModify(i,j));   
            return isModify(i,j);   
         }   
        else if(i==0||j==0){   
            if(j>0){   
                //System.out.println("edit["+i+","+j+"]=edit["+i+","+(j-1)+"]+1");   
                if(isModify(i,j) == 0) return j;   
                                return editDistance(i, j-1) + 1;   
             }   
            else{   
                //System.out.println("edit["+i+","+j+"]=edit["+(i-1)+","+j+"]+1");   
                if(isModify(i,j) == 0) return i;   
                                return editDistance(i-1,j)+1;   
             }   
         }   
        else {   
            //System.out.println("edit["+i+","+j+"]=min( edit["+(i-1)+","+j+"]+1,edit["+i+","+(j-1)+"]+1,edit["+(i-1)+","+(j-1)+"]+isModify("+i+","+j+")");   
            int ccc=minDistance(editDistance(i-1,j)+1,editDistance(i,j-1)+1,editDistance(i-1,j-1)+isModify(i,j));   
            return ccc;   
         }   
       
     }   
    /**
      * 求最小值
      * @param disa 编辑距离a
      * @param disb 编辑距离b
      * @param disc 编辑距离c
      */  
    private int minDistance(int disa,int disb,int disc){   
        int dismin=Integer.MAX_VALUE;   
        if(dismin>disa) dismin=disa;   
        if(dismin>disb) dismin=disb;   
        if(dismin>disc) dismin=disc;   
        return dismin;   
     }   
    /**
      * 单字符间是否替换
      *
      * isModify(i,j)表示X中第i个字符x(i)转换到Y中第j个字符y(j)所需要的操作次数。
      * 如果x(i)==y(j)，则不需要任何操作isModify(i, j)=0； 否则，需要替换操作，isModify(i, j)=1。
      * @param i 字符串X第i个字符
      * @param j 字符串Y第j个字符
      * @return 需要替换，返回1；否则，返回0
      */  
    private int isModify(int i,int j){   
        if(charArrayX[i]==charArrayY[j])   
            return 0;   
        else return 1;   
     }   
       
    /**
      * 测试
      * @param args
      */  
    public static void main(String[] args) {       
         System.out.println("编辑距离是："+new StrEditDistance("eeba","abac").getDistance());   
     }   
  
}  

<wbr></wbr>

五、优化方法

从上面算法可以看出，该算法时间复杂性为0(m*n),空间复杂性为O（m*n）。同时可以看出，当对第i行进行填表时，只需要用到第i-1行的数据，因此可以用一个一维数组dis[0…n]代替二维数组D[0…m,0…n]，因此空间复杂性降为O(n)。实现代码如上面函数dist2()所示。