动态规划入门——线性DP

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线性DP

最短编辑距离

【题目链接】902. 最短编辑距离 - AcWing题库

思路：

有三个操作，因此有三个子集！

状态表示 dp[i][j]

• 集合 ： 所有吧a中的前i个字母 变成 b中前j个字母的集合的操作集合
• 属性 ： 所有操作中操作次数最少的方案的操作数

状态计算
状态划分 以对a中的第i个字母操作不同划分

• 在该字母之后添加

  • 添加一个字母之后变得相同，说明没有添加前a的前i个已经和b的前j-1个已经相同
  • 即 ： dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1

• 删除该字母

  • 删除该字母之后变得相同，说明没有删除前a中前i-1已经和b的前j个已经相同
  • 即 ： dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1

• 替换该字母

  • 替换存在两种情况：结尾字母不同；结尾字母相同；
    • 若a[i] == b[j]，啥也不做，即： dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
    • 若应结尾字母不相同，直接替换即可
      即：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

时间复杂度：O(n*n)

【代码实现】

#include 
#include 
#include
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N][N];// dp[i][j] :a中1~i与b中1~j相等需要的最少操作次数
char a[N], b[N];
int n, m;
int main()
{
    scanf("%d%s", &n, a + 1);// 字符串从下标1开始输入
    scanf("%d%s", &m, b + 1);
    
    //边界：当只有字符串b或者a时，只能通过插入操作完成
    for(int i = 0; i <= m; i ++) dp[0][i] = i;
    for(int i = 0; i <= n; i ++) dp[i][0] = i;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
                if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1]);
                else dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
            }
    printf("%d", dp[n][m]);
    return 0;
}

编辑距离

【题目链接】899. 编辑距离 - AcWing题库

思路：在有限次操作的情况下，对上一题进行拓展！

【代码实现】

#include 
#include 
#include
#include 

using namespace std;

const int N = 1010;
char str[N][N];
int dp[N][N];

// 最短编辑距离
int min_opt(char a[], char b[])
{
    int la = strlen(a + 1), lb = strlen(b + 1);// 从下标1开始计算！
    for(int i = 0; i <= la; i ++) dp[i][0] = i;
    for(int i = 0; i <= lb; i ++) dp[0][i] = i;
    
    for(int i = 1; i <= la; i ++)
        for(int j = 1; j <= lb; j ++)
        {
            dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
            if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1]);
            else dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    return dp[la][lb];    
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%s", str[i] + 1);// 输入多个串
    
    while (m -- )
    {
        char s[N];
        int limit, res = 0;
        scanf("%s%d", s + 1, &limit);
        
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            if(min_opt(str[i], s) <= limit)
                res ++;
        }
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

学习内容参考：

acwing算法基础课