树链剖分学习小记

树链剖分学习小记

平常在一棵树上，从点u到点v询问一些最大值，求和之类的，都是先打个lca然后在类暴力一下，小题可以对，但遇到大题就挂了。然后就去看了一下树链剖分%%%
其实也不难。。。
树链剖分其实就是用数据结构去维护上面的点或链，降低一下复杂度。不过如果随意的去维护，会搞得很乱，时间消耗可能比暴搜还慢。
现在有一种剖分的方法：轻重链剖分(启发式剖分)。
从一个节点走下去，儿子多的为重儿子，链接他的为重边。其余的为轻儿子，链接他的事轻边。重链连成的链叫重链。
——>定义size[i]为以i为根节点的子树的节点数量，fa[i]为i节点的父节点，top[i]为i所在重链的第一个节点，w[i]为父边在线段树中的序号(如果要处理的是点，就是当前这儿点在线段树中的序号)，son[i]为节点i所在的重链的儿子节点(除了叶节点，其他都有son)，deep[i]为节点i在树中的深度是多少。用两个dfs把这些预处理好。
然后就是查询(修改直接在线段树上做就行了)。设要询问节点x到节点y，f1=top[x],f2=top[y]。首先从deep大的(就是深度更深的)开始做，处理出top到当前这个点的值，假设deep[x]>deep[y],先处理w[f1]到w[x]这段区间，因为这段区间是沿着重链的，在线段树上是连续的，可以直接处理。然后当前这个节点再更新为top的父亲，如上是x=fa[f1],f1=top[x]。一直这样做知道f1=f2为止，此时都在同一条重链上，也可以直接处理。由于是分成一条一条的重链，所以时效很快。

入门题：【ZJOI2008】树的统计

Description

    一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。
    我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：
    I.    CHANGE u t : 把结点u的权值改为t
    II.   QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值
    III.  QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和
    注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Solution

    很裸的树链剖分

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=100000;
int i,j,k,l,t,n,m,ans,size[maxn],deep[maxn],top[maxn],fa[maxn],son[maxn],w[maxn];
int first[maxn],last[maxn],next[maxn],num,a[maxn],tot,q,p,fw[maxn];
char s[10];
struct node{
    int l,r,sum,da;
}tree[maxn*5];
void add(int x,int y){
    last[++num]=y;
    next[num]=first[x];
    first[x]=num;
    last[++num]=x;
    next[num]=first[y];
    first[y]=num;
}
void dfs1(int x,int y){
    int i,j=0,k=0;
    size[x]=1;
    for(i=first[x];i;i=next[i]){
        if(last[i]!=y){
            fa[last[i]]=x;
            deep[last[i]]=deep[x]+1;
            dfs1(last[i],x);
            size[x]+=size[last[i]]; 
            if(k<size[last[i]]){
                k=size[last[i]];
                son[x]=last[i];
            }
        }
    }
}
void dfs2(int x,int y){
    top[x]=y;
    w[x]=++tot;
    fw[tot]=a[x];
    if(!son[x]) return;
    dfs2(son[x],y);
    for(int i=first[x];i;i=next[i]){
        if(last[i]!=fa[x]&&last[i]!=son[x]){
            dfs2(last[i],last[i]);
        }
    }
}
void build(int x,int l,int r){
    int i,j,mid;
    if(l==r){
        tree[x].da=tree[x].sum=fw[l];
    }
    else{
        mid=(l+r)/2;
        build(x*2,l,mid);
        build(x*2+1,mid+1,r);
        tree[x].sum=tree[x*2].sum+tree[x*2+1].sum;
        tree[x].da=max(tree[x*2].da,tree[x*2+1].da);
    }
}
void change(int x,int l,int r,int y,int z){
    int i,mid;
    if(l==r){
        tree[x].da=tree[x].sum=z;
    }
    else{
        mid=(l+r)/2;
        if(y<=mid) change(x*2,l,mid,y,z);
        else change(x*2+1,mid+1,r,y,z);
        tree[x].da=max(tree[x*2].da,tree[x*2+1].da);
        tree[x].sum=tree[x*2].sum+tree[x*2+1].sum;
    }
}
int query_max(int x,int l,int r,int y,int z){
    int i,mid;
    if(l==y&&r==z){
        return tree[x].da;
    }
    else{
        mid=(l+r)/2;
        if(y>mid) return query_max(x*2+1,mid+1,r,y,z);
        else if(z<=mid)return query_max(x*2,l,mid,y,z);
        else{
            return max(query_max(x*2+1,mid+1,r,mid+1,z),query_max(x*2,l,mid,y,mid));
        } 
    }
}
int query_sum(int x,int l,int r,int y,int z){
    int i,mid;
    if(l==y&&r==z){
        return tree[x].sum;
    }
    else{
        mid=(l+r)/2;
        if(y>mid) return query_sum(x*2+1,mid+1,r,y,z);
        else if(z<=mid)return query_sum(x*2,l,mid,y,z);
        else{
            return query_sum(x*2+1,mid+1,r,mid+1,z)+
            query_sum(x*2,l,mid,y,mid);
        } 
    }
}
int find_max(int x,int y){
    int f1=top[x],f2=top[y],o=-10000000;
    while(f1!=f2){
        if(deep[f1]<deep[f2]){
            swap(f1,f2);swap(x,y);
        }
        o=max(o,query_max(1,1,n,w[f1],w[x]));
        x=fa[f1];f1=top[x];
    }
    if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
    return max(o,query_max(1,1,n,w[x],w[y]));
}
int find_sum(int x,int y){
    int f1=top[x],f2=top[y],o=0;
    while(f1!=f2){
        if(deep[f1]<deep[f2]){
            swap(f1,f2);swap(x,y);
        }
        o+=query_sum(1,1,n,w[f1],w[x]);
        x=fa[f1];f1=top[x];
    }
    if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
    return o+query_sum(1,1,n,w[x],w[y]);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n-1){
        scanf("%d%d",&k,&l);
        add(k,l);
    }
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    deep[1]=1;
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,1);
    build(1,1,n);
    scanf("%d",&q);
    fo(p,1,q){
        scanf("%s%d%d",s+1,&k,&l);
        if(s[1]=='C'){
            change(1,1,n,w[k],l);
        }
        else if(s[2]=='M'){
            printf("%d\n",find_max(k,l));
        }
        else if(s[2]=='S'){
            printf("%d\n",find_sum(k,l));
        }
    }
}