UESTC 1282 被兵暴的沈宝宝 Catalan数&&逆元

被兵暴的沈宝宝

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沈宝宝：“哎，又是平常稀疏而又无聊的一天啊。”

众所周知，沈宝宝打SC2已经到了炉火纯青的地步，是难逢敌手，也独孤求败。

进攻，则敌灰飞烟灭；防守，则城固若金汤。枪兵聚，坦克轰，击垮的不是军队，是敌人的意志。

正所谓咸鱼终于翻身时，屡战屡败，但屡败屡战的卿学姐终于学会了暴兵一技，后获名暴兵狂魔。

时下正值开学之初，兵锋正锐，卿学姐与沈宝宝会战于暴雪平台。

战况可谓惨烈万分，沈宝宝虽然依靠卓越的技艺取得了前期的优势，然而卿学姐不悲不弃，本着暴兵的原则，终于在人口上超越了沈宝宝。

双拳难敌四手，沈宝宝终败于枪兵山下。

人逢失意时，正是成功始。惜有越王卧薪尝胆，今有沈爷日夜推敲。功夫不负有心人，沈爷终于掌握了克制卿学姐的办法，重新登上了集训队SC2的王座。

沈宝宝一共有2n个兵，每个兵有不同的攻击力，并且恰好这些兵的攻击力能构成2n的一个排列。

这些兵排成2*n的矩阵A，并且A中每个位置都要比这个位置的上面和左面大，即A[i][j]>A[i-1][j] i>1，并且A[i][j]>A[i][j-1] j>1。

有了这样的矩阵，沈宝宝终于可以以少胜多，打败卿学姐了。

对于n=5

这样的矩阵有一个解：

1 2 4 6 7

3 5 8 9 10

天行廖，也就是人尽皆知的772002，很喜欢数学题。

现在天行廖给沈宝宝出了个问题，对于沈宝宝的2n个兵，有多少种阵型能干死卿学姐。

沈宝宝忙着打SC2，所以这个问题就交给了你。

Input

第一行T，表示有T组数据，T<=100000。

接下来T行，每行一个整数n，n<=100000，表示沈宝宝有2n个兵

Output

一个答案，表示方案数，但是答案太大了，所以答案需要 mod 1e9+9。

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
1 3	5

Source

每周一题 div2

The question is from   here.

MySolution

卡特兰数经典模型  化简版的递推式是白书上看来的，f2 = f3 = 1 ,卡特兰数从 f3 开始 然后 f(i+1) = (4*i-6)*f(i)/i;

结合拓展欧几里得逆元，inv用的全是LL所以gcd()也把参数全部改成LL了

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int HASH = 1e9+9, maxn = 100006;
int f[maxn];
void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
    if(!b) {d = a; x = 1; y = 0;}
    else {gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b);}
}
LL inv(LL a, LL n)
{
    LL d, x, y;
    gcd(a, n, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+n)%n : -1;
}

int main()
{
    f[2] = f[3] = 1;
    long long t;
    for(int i = 3; i <= 100003; i++) {
            if(inv(i, HASH)!= -1){t = 4*i-6; f[i+1] = (t*f[i])%HASH*inv(i, HASH)%HASH;}//有除出现直接逆元，因为虽然可以先搞完再取模，
            //!也许LL不会在这个时候爆，但所使用的是前面的结果，所以必须逆元，然后每个大的*分步取模吧
            else {t = 4*i-6; f[i+1] = (t*f[i])/i%HASH;}  //这句好像用不到☺☺
    }
    //前面没有用逆元 必须除完 i 再取模 ，不然出现 0 的 虽然这样也不对
    //这里多项式取模不会出现负值，  如果其它题目可能会出现负值的话就分开写吧， 就像这样
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d", &n);
        if(n == 1) printf("%d\n", 1);
        else if(n == 0) printf("%d\n", 0);
        else printf("%d\n", f[n+2]);
    }
    return 0;
}

Thank you!