(4)邮票问题____动态规划

              Stamps 邮票问题

题目描述:

 已知一个 N 枚邮票的面值集合(如,{1 分,3 分})和一个上限 K —— 表示信封上能够贴 K 张邮票。计算从 1 到 M 的最大连续可贴出的邮资。 

例如,假设有 1 分和 3 分的邮票;你最多可以贴 5 张邮票。很容易贴出 1 到 5 分的邮资(用 1 分邮票贴就行了),接下来的邮资也不难: 
6 = 3 + 3 
7 = 3 + 3 + 1 
8 = 3 + 3 + 1 + 1 
9 = 3 + 3 + 3 
10 = 3 + 3 + 3 + 1 
11 = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 
12 = 3 + 3 + 3 + 3 
13 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1

然而,使用 5 枚 1 分或者 3 分的邮票根本不可能贴出 14 分的邮资。因此,对于这两种邮票的集合和上限 K=5,答案是 M=13。

输入:

第 1 行: 两个整数,K 和 N。K(1 <= K <= 200)是可用的邮票总数。N(1 <= N <= 50)是邮票面值的数量。 
第 2 行至末尾: N 个整数,每行 15 个,列出所有的 N 个邮票的面值,面值不超过 10000。

输出:

一个整数,从 1 分开始连续的可用集合中不多于 K 张邮票贴出的邮资数。

样例输入:

5 2
1 3

样例输出:

13


分析:

1.数据分析:每个信封最多贴K(K<=200)张邮票,每张邮票的面值不超过10000,能贴出最大的邮资不超过2000000,可用一个数组来表示能够表示贴出每种邮资。


2.算法分析:

(1)搜索:每种邮票最多贴200张,总共50种,朴素的深搜规模将达到50^200。

(2)动态规划:

        <1>阶段:能够构成每个面值为阶段。比如能构成的面值为1到V,那么总共为V个阶段。

        <2>状态:dp[i]表示构成面值i所需要的最少邮票数.

        <3>决策:对于样例数据1和3两种面值的邮票:

                    构成邮资0:所需要邮票张数为0张,dp[0]=0;

                    构成邮资1:只能用1分的邮票,所需要邮票张数1张,dp[1]=1;

                    构成邮资2:只能用1分的邮票,所需要邮票张数2张,dp[2]=1;

                    构成邮资3:

                             *1.若选择使用一张1分的邮票,dp[3]=dp[2]+1=3………dp[3-1]+1

                             *2.若选择使用一张3分的邮票,dp[3]=dp[0]+1=1………dp[3-3]+1

                                       dp[3]=min{dp[2]+1,dp[0]+1}=1;

                     构成邮资4:

                             *1.若选择使用一张1分的邮票,dp[4]=dp[3]+1=2………dp[3-1]+1

                             *2.若选择使用一张3分的邮票,dp[4]=dp[1]+1=1………dp[3-3]+1

                                       dp[4]=min{dp[3]+1,dp[1]+1}=2;

        <4>状态转移方程:dp[i]=min{dp[i-a[j]]+1}    i>=a[j]  1<=j<=n    f[i]<=k;

样例代码:

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[2000001];
int main()
{
    int a[51];
    int i,j,k,n,m;
    while(scanf("%d%d",&k,&n)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        sort(a,a+n);
        dp[0]=0;
        i=0;
        while(dp[i]<=k)
        {
            i++;dp[i]=999999;
            for(j=0;j<n&&a[j]<=i;j++)
                if(dp[i-a[j]]+1<dp[i])
                    dp[i]=dp[i-a[j]]+1;
        }
        printf("%d\n",i-1);
    }
    return 0;
}

       实质就是背包问题:当前邮资i可以看作背包容量,每种邮票可以看作是一个物品,邮票的面值就是物品的体积,k可以看作是对物品数量的一个限制。




                            Stamps 邮票面值设计问题

题目描述:

        给定一个信封,最多只允许粘贴N张邮票,计算在给定K(N+K≤40)种邮票的情况下(假定所有的邮票数量都足够),如何设计邮票的面值,能得到最大值MAX,使在1~MAX之间的每一个邮资值都能得到。
    例如,N=3,K=2,如果面值分别为1分、4分,则在1分~6分之间的每一个邮资值都能得到(当然还有8分、9分和12分);如果面值分别为1分、3分,则在1分~7分之间的每一个邮资值都能得到。可以验证当N=3,K=2时,7分就是可以得到的连续的邮资最大值,所以MAX=7,面值分别为1分、3分。

样例输入:
3 2
样例输出:
1 3
MAX=7



这道题显然要先搜索出满足条件的面值组合,比如n=3,k=3时
在搜索时加入适当优化:
以n=3,k=3为例:第一个面值肯定为1,但是第二个面值只能是2,3,4,因为面值为1的最多贴3张,贴满的最大值为3,要保证数字连续,那么第二个数字最大只能是4。所以我们可以得到规律,如果邮票张数为n,种类为k,那么从小到大的顺序,邮票a[i]的下一种面值的取值范围必然是a[i]+1到a[i]*n+1如图:



算法:深度优先搜索+动态规划
     如果已知邮票的不同面值,可以用动态规划求出这些不同面值的邮票能组合出的最大连续数:
                        设dp[i]表示已知面值的邮票组合出面值为i所需要的最小邮票数,我们把已知的q种不同的邮票面值存在num中,则有状态转移方程:
                                                 dp[i]=min{dp[i-num[j]]+1}      
    最后随着深度搜索不断枚举可能的面值组合,然后不断更新最大值即可


代码:
#include <stdio.h>
int dp[4000001],a[40]={1},max_a[40];
int max,n,k;
void youpiao()     //验证当前邮票组合的最大连续数
{
    int i=0,j;
    dp[0]=0;
    while(dp[i]<=n)
    {
        i++;
        dp[i]=99999;
        for(j=0;j<k&&i>=a[j];j++)
            if(dp[i-a[j]]+1<dp[i])
                dp[i]=dp[i-a[j]]+1;
    }
    if(i-1>max)    //一旦当前最大数大于了max,就更新max,并把当前的组合方式存在max_a数组中.
    {
        max=i-1;
        for(j=0;j<k;j++)
            max_a[j]=a[j];
    }
}
void dfs(int step)   //枚举所有可能的邮票种类组合
{
    if(step==k)
    {
        youpiao();
        return;
    }
    int i;
    for(i=a[step-1]+1;i<=a[step-1]*n+1;i++)
    {
        a[step]=i;
        dfs(step+1);
    }
}
 
int main()
{
    int i;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        max=0;
        dfs(0);
        for(i=0;i<k;i++)
        {
            if(!i)
                printf("%d",max_a[i]);
            else
            printf(" %d",max_a[i]);
        }
        printf("\nMAX=%d\n",max);
    }
    return 0;
}



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