我们先根据一个贪心算法的经典应用实例,然后给出贪心算法的实现步骤与关键环节,最后给出C++代码求解0-1背包问题。
背包问题(Knapsack Problem):有 N 件物品有一个承重(也可受限于体积)为 C 的背包,每件物品具有二维属性,分别是重量属性 wi,i=1,…,N ,和价值属性 pi,i=1,…,N ,求解将哪几件物品装入背包可使这些物品在重量不超过 C 的情况下价值总和最大。背包问题给我们提供了一个模型,由此我们可以求解货箱装载问题。这一问题隐含了一个条件,每个物品只有一件,也就是要么不选取(UNCHOSEN,0),要么选取(CHOSEN,1),因此又称为0-1背包问题。
贪心算法的基本设计思想有以下三个步骤:
建立对问题精确描述的数学模型,包括定义最优解的模型。
显然本题,就是重量不超过 C 条件下的价值最大
将问题分解为一系列子问题,同时定义子问题的最优解结构
贪心算法的关键环节,将问题分解为后续的一个一个的子问题。本例而言,就是在(根据一定的标准)选定一个物品(重量为 wi )的情况下,在余下的物品中选择下一个物品此时的问题的条件是重量不超过 C′:=C−wi 。
引用相应的贪心原则(比如重量最轻,价值最高,性价比最高)确定每个子问题的局部最优解(上文所说的 Ci ),并根据最优解的模型,用子问题的局部最优解堆叠出全局最优解。
下面我们来看这一具体的实例,
关键在于子问题的定义,本例,我么可以将子问题定义为,在选取某一物品( wi )放入背包以后,在背包容量还有 C′:=C−wi 的情况下,选择下一个物品放入背包。
如何选择每一次子问题的所需确定的物品呢?这正是贪心策略的选择问题了。对于本题,常见的贪婪策略有三种,
根据物品价值选择,每次都选价值最高的物品
[4, 2, 6, 5]-> 130(总重量),165(价值)
根据物品重量选择,每次都选最轻的
[6, 7, 2, 1, 5] -> 140(总重量),155(总价格)
根据价值密度(也即性价比),每次都选性价比最高的
性价比:[0.286, 1.333, .5, 1., .0875, 4., 1.2]
[6, 2, 7, 4, 1] -> 150(总重量),170(总价格)
算法流程如下:
元素数据结构的定义
问题数据结构的定义
循环子问题,直到全部子问题都得以解决,退出循环
下面给出其实现:
enum STATUS
{
UNCHOSEN,
CHOSEN,
NOTALLOWED
};
// 物品的数据结构定义
typedef struct tagObject
{
int weight;
int price;
// double density;
// 这里也可增加这样一个冗余性定义,用于第三种贪心规则
STATUS status;
}OBJ;
// 问题的数据结构定义
typedef struct tagKnapsackProblem
{
std::vector<OBJ> objs;
int total;
// std::vector<int> selected; // 贪心规则下得到的物品
// int weights; // 贪心规则下得到的总的物品重量
// int prices; // 贪心规则下得到的总的物品价格
}KnapsackProblem;
// 定义三种贪心算法的函数指针
typedef int(*SELECT_POLICY)(std::vector<OBJ>&);
void greedyAlgo(KnapsackProblem* problem, SELECT_POLICY spFunc)
{
int idx;
int cur = 0;
while ((idx = spFunc(problem->objs)) != -1)
{
// idx标识可选的物品
if (problem->objs[idx].weight <= problem->total - cur)
{
std::cout << idx + 1 << std::endl;
// 打印每一个子问题的最优选择
problem->objs[idx].status = CHOSEN;
cur += problem->objs[idx].weight;
}
else
{
problem->objs[idx].status = NOTALLOWED;
}
}
}
int chooseFunc1(std::vector<OBJ>& objs)
{
int idx = -1;
int tmp = 0;
for (size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
{
if (objs[i].status == UNCHOSEN && tmp < objs[i].price)
{
tmp = objs[i].price;
idx = i;
}
}
return idx;
}
int chooseFunc2(std::vector<OBJ>& objs)
{
int idx = -1;
int tmp = 1000000;
for(size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
{
if (objs[i].status == UNCHOSEN && tmp > objs[i].weight)
{
tmp = objs[i].weight;
idx = i;
}
}
return idx;
}
int chooseFunc3(std::vector<OBJ>& objs)
{
int idx = -1;
double tmp = 0.;
for(size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
{
if (objs[i].status == UNCHOSEN &&
tmp < static_cast<double>(objs[i].price)/objs[i].weight)
{
tmp = static_cast<double>(objs[i].price)/objs[i].weight;
idx = i;
}
}
return idx;
}
// 客户端代码
int main(int, char**)
{
std::vector<OBJ> objs{{35, 10, UNCHOSEN}, {30, 40, UNCHOSEN}, {60, 30, UNCHOSEN}, {50, 50, UNCHOSEN},
{40, 35, UNCHOSEN}, {10, 40, UNCHOSEN}, {25, 10, UNCHOSEN}};
KnapsackProblem problem = {objs, 150};
// greedyAlgo(&problem, chooseFunc1);
// greedyAlgo(&problem, chooseFunc2);
greedyAlgo(&problem, chooseFunc3); // 三种贪心规则分别运行。
return 0;
}
有了上述0-1(to be or not to be, 只能二选一)背包问题提供的模型,我们便可比较轻易的仿制上述设计与编程,解决0-1找零钱问题:
货币 mi=[25,10,5,1] 分四种,需找给用户41分钱。
enum STATUS
{
CHOSEN,
UNCHOSEN,
NOTALLOWED
};
typedef struct tagObject
{
int value;
STATUS status;
}OBJ;
typedef struct tagProblem
{
std::vector<OBJ> objs;
int total;
}Problem;
int findMax(std::vector<OBJ>& objs)
{
int idx = -1;
int tmp = 0;
for (size_t i = 0; i < objs.size(); ++i)
{
if (objs[i].status == UNCHOSEN && tmp < objs[i].value)
{
idx = i;
tmp = objs[i].value;
}
}
return idx;
}
void greedyAlgo(Problem* prob)
{
int idx;
int cur = 0;
while ((idx = findMax(prob->objs))!=-1)
{
if (prob->objs[idx].value <= prob->total - cur)
{
std::cout << idx + 1 << std::endl;
prob->objs[idx].status = CHOSEN;
cur += prob->objs[idx].value;
}
else
{
prob->objs[idx].status = NOTALLOWED;
}
}
}
int main(int, char**)
{
std::vector<OBJ> objs {{25, UNCHOSEN}, {10, UNCHOSEN}, {5, UNCHOSEN}, {1, UNCHOSEN}};
Problem prob = {objs, 41};
greedyAlgo(&prob);
return 0;
}