从0-1背包问题到动态规划

算法——贪心算法解0-1背包问题

• 局部最优策略（locally optimal decisions，比如贪心算法），并不保证全局最优（global optimums）

• “在我的后园，可以看见墙外有两株树，一株是枣树，还有一株也是枣树。”，同样如果有两个手表，为了达到0/1背包问题的要求，也可转化为一个手表，还有一个手表。

• brute force（暴力法）的本质是 exhaustive enumeration（穷举法）

• 一个算法的时间复杂度为指数级时，将会产生十分恐怖的计算量，而动态规划算法可以用来解决指数级时间复杂度的问题，只是说，有些指数级时间复杂度的问题可以通过动态规划算法求解，并非全部。

动态规划（Dynamic programming）核心概念有二：

• overlapping subproblems: 重叠子问题

  或者说，子问题（subproblems）出现了重叠，子问题的“重叠”意味着计算机的“重复计算”。比如，斐波那契数列的例子不像二分搜索（子问题之间比如独立，也即不存在子问题重叠的问题），可参考 每周一刷——从斐波那契数列到动态规划 。

• optimal substructure: 最优子结构

  所谓动态规划即是寻找这样的一个最优子结构（substructure），它通过引入 memo 查找表（look-up table）的形式实现对重叠的子问题只进行有限次的计算。也即：record value 1st time，look it up the subsequent times we need it（一次记录，多次使用）

背包问题（knapsack problem）又叫装箱问题（bin packing）。所谓0-1背包问题，对于一件物品要么拿走，要么不拿，不存在拿部分的情况，自然可与二进制对应起来，所谓当物品为 n 时，样本空间的大小为： 2n 。

为了实现用动态规划的方法进行背包问题的求解，我们首先来看使用动态规划求解斐波那契数列的问题，关于用动态规划求解斐波那契数列的详细讨论请见 每周一刷——从斐波那契数列到动态规划 。

def fib(n, m):
    if n not in m:
        m[n] = fib(n-1, m) + fib(n-2, m)
    return m[n]

if __name__ == '__main__':
    m = {0:0, 1:1}
    print([fib(n, m) for n in range(10)])
        # [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]

decision tree（决策树）

• weights = [5, 3, 2]，三个物品各自的重量；
• values = [9, 7, 8]，三个物品各自的价值；
• max = 5，背包的最大承重；

所谓0/1背包问题，也即对每一件物品只有选和不选两种选择，也即分二叉，从当前节点出发，有两个分支。

我们定义如下的树的节点（node）结构：物品的编号，背包还能容纳的最大重量，当前背包所放物品的价值构成的三元组，我们以逆序遍历每件物品，所以根节点结构为：[2, 5, 0]。

def maxVal(i, w, v, c):
    if i == 0:
        return v[i] if w[i] <= 0 else 0
    without_i = maxVal(i-1, w, v, c)
    if w[i] > c:
        return without_i
    with_i = v[i] + maxVal(i-1, w, v, c-w[i])
    return max(without_i, with_i)

if __name__ == '__main__':
    weights = [5, 3, 2]
    values = [9, 7, 8]
    n, c = len(weights), 5
    print(maxVal(n-1, weights, values, c))

上例中的重叠子问题（overlapping subproblem）还不明显，当物品较多时，画出其决定树，便会出现大量的重叠子问题，又因为weights和values是固定不变的，真正变化的是物品编号以及当前背包还能容纳的物品重量。

def fastMaxVal(i, w, v, c, m):
    try:
        return m[(i, c)]
    except KeyError:
        if i == 0:
            if w[i] <= c:
                m[(i, c)] = v[i]
                return m[(i, c)]
            m[(i, c)] = 0
            return 0
        without_i = fastMaxVal(i-1, w, v, c, m)
        if w[i] > c:
            m[(i, c)] = without_i
            return m[(i, c)]
        with_i = v[i] + fastMaxVal(i-1, w, v, c-w[i], m)
        m[(i, c)] = max(with_i, without_i)
        return m[(i, c)]
if __name__ == '__main__':
    ws = [5, 3, 2]
    vs = [9, 7, 8]
    n, c = len(ws), 5
    m = {}
    print(fastMaxVal(n-1, ws, vs, c, m))