【SDOI2013】项链

题目描述

问满足以下要求的项链数有多少，答案对 109+7 取模，共 T 组数据。

• 项链由 n 颗珠子构成。
• 每颗珠子为正三棱柱，每个侧面上都有一个正整数 x ，满足 x<m ，并且三个面上的数字的最大公约数为 1 。珠子被认为是相同的，当且仅当数字序列可以通过旋转或翻转相互得到。
• 相邻两颗珠子不可以相同。
• 两串项链假如可以通过旋转相互得到，那么是被认为是相同的。

n≤1014,m≤107,T≤10

分析

这道题结合了许多的数论知识。
首先题目可以大体上分为两个部分：不同的珠子数、不同的项链数。

Part 1

如何求不同的珠子数呢？
实际上珠子相当于一个三元组 (x,y,z) ，记不同珠子类型数为 ret
这里珠子的所有置换构成置换群 G ，那么根据 burnside 引理

ret=∑x∈Gf(d)|G|
而通过暴力枚举 G 的元素，我们可以发现 G 中有 1 个置换由 3 个轮换组成， 3 个置换由 2 个轮换组成， 2 个置换由 1 个轮换组成。
那么问题就转化为了统计最大公约数为 1 的有序三元组、二元组及一元组数目。

以统计三元组为例：
考虑记 gn 表示最大公约数至少为 n 的三元组数目。
记 fn 表示最大公约数为 n 的三元组数目。

gn=∑n|dfd=(⌊mn⌋)3

由前面写过的文章中

然而这个形式不仅仅局限于此，考虑以下等式。
F(n)=∑n|df(d)
那么
f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)
也是成立的。
我们不妨倒过来想，原来的莫比乌斯反演是约数的形式，那么此时变成了倍数的形式以后基本思想还是不变的，上面的式子还是挺容易理解的。

可以得到这里的

fn=∑n|dμ(dn)gd

特别的

f1=∑ni=1μ(i)gi

于是再通过上面 burnside 引理的式子就可以计算不同的珠子类型数了。
gi 是可以 O(1) 算的，重点是在于处理 μ

part 2

项链的旋转同构显然也构成了一个置换群 G′ ，且 |G′|=n
记不同的珠子类型数为 p 。根据 polya 定理，不同的项链数 ans

ans=∑d∈G′pf(d)|G′|

其中 G′ 中的置换 f(k) ，其轮换数为 (n,k)
然而这里它存在对染色的限制：相邻的染色不能相同。
不妨记 h(n) 表示对 n 组轮换染色的方案数。那么就有

h(n)=(p−1)h(n−2)+(p−2)h(n−1)
矩阵乘法即可。

然而我们直接枚举 k ，每次都矩阵乘法显然是不行的。
考虑枚举 gcd ，原式就变成了

∑ngcd=1h(gcd)φ(ngcd)

因为 gcd 必然是 n 的约数，直接枚举约数， φ(ngcd) 也可以顺便统计出来。

时间复杂度 O(d(n)logn) ，其中 d(n) 是 n 的约数个数。
空间复杂度 O(m)