【GDOI 2016模拟3.16】图计数

问题描述

记 n 的正整数拆分方案数为 fn ，求 mfn(mod999999599)

n,m≤105

分析

首先一个很重要的地方就是幂应该要对 φ(mod) 取模。

然后就是怎么算正整数拆分。
其实这个本质上是一个完全背包问题，其中物体的重量为 1 到 n 。
考虑重量小于于 n−−√ 的物体只有 n−−√ 个，重量大于等于 n−−√ 的物体只会选 n−−√ 个。
那么分开处理，然后合并背包即可。

part1

记 fi,j 表示前 i 个物体，已加入重量为 j ，简单 DP 即可。

part2

记 gi,j 表示已经加入了 i 个物品，重量为 j 。
那么这里这样子转移。

gi,j=gi−1,j−⌈n√⌉+gi,j−i

其中加号以前表示加入一个重量为 ⌈n−−√⌉ 的物体，以后的部分表示将之前加入的物体的重量全部加一。

剩下就是合并背包了。

时间复杂度 O(nn−−√)
空间复杂度 O(n)