中心单代数

考虑下面的问题：

 

设 $\mathrm{M}_n(F)$ 是数域 $F$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成的向量空间，$f$ 是 $M_n(F)$ 到自身的线性变换。

• 如果 $f$ 保持矩阵的乘法：\[f(AB)=f(A)f(B).\quad\forall A,B\in \mathrm{M}_n(F).\]

  求证：存在可逆矩阵 $T\in \mathrm{M}_n(F)$ 使得 $f(A)=T^{-1}AT$。

  
  

• 如果 $f$ "反交换" 矩阵的乘法：

  \[f(AB)=f(B)f(A).\quad\forall A,B\in M_n(F).\]

  求证：存在可逆矩阵 $T\in\mathrm{M}_n(F)$ 使得 $f(A)=T^{-1}A'T$。

  
  

• 如果对任何两个矩阵 $A,B\in\mathrm{M}_n(F)$，等式 $f(AB)=f(A)(B)$ 和 $f(AB)=f(B)f(A)$ 至少有一个是成立的，那么 $f$ 是什么样子的？

这个问题其实是代数学中关于中心单代数的 Noether - Skolem 定理的最简单的情形（问题 3 略有一点技巧性）。我们接下来就来介绍中心单代数的基本知识。

定义：设 $A$ 是域 $F$ 上的一个有限维的结合代数，有乘法单位元 $\rm 1$，如果 $A$ 除了 $(0)$ 和自身以外不含有其它的双边理想，就称 $A$ 是域 $F$ 上的单代数；进一步如果 $A$ 的中心 $Z(A)=F\cdot{\rm 1}\cong F$，就称 $A$ 是域 $F$ 上的中心单代数。

最基本也是最重要的中心单代数的例子就是矩阵代数 $\mathrm{M}_n(F)$。

中心单代数有个很好的性质，就是它们对张量积的运算是封闭的：

定理 1：设 $A,B$ 是域 $F$ 上的两个中心单代数，则 $A\otimes B$ 也是中心单代数。

证明：取定 $B$ 的一组基 $\{b_1,\ldots,b_m\}$，我们知道 $A\otimes B$ 中的任何元素 $x$ 都可以唯一地写成

\[ x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m,\quad a_i\in A.\]

当然这里的 $a_i$ 某些可以是 $0$。我们称上面这个表达式中非零项的个数为 $x$ 的 "长度“。这里的思路是代数学中常见的 "最小反例" 方法：设 $I$ 是 $A\otimes B$ 的一个非零的双边理想，则取 $x\ne 0$ 使得 $x$ 的长度是 $I$ 中所有非零元素中最小的一个，我们来证明必有 $I=A\otimes B$。

（类似的场景还有：证明一组向量线性无关时，可以假设存在某个最短的线性关系，由此得出一个更短的线性关系，从而矛盾；在群论中证明满足某种性质的群不存在时，常常假设存在一个阶数最小的反例，由此得出它的某个子群/商群也满足该性质，从而矛盾。）

不妨假设\[ x= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_r\otimes b_r,\quad 0<r\leq m.\]

这里每个 $a_i$ 都不是 $0$，特别 $a_1\ne0$。由于 $A$ 是单代数因此 $A=Aa_1A$，所以存在一组 $\{a_j',a_j''\}$ 满足\[1=\sum_{j=1}^p a_j'a_1a_j''.\]

由于 $I$ 是双边理想因此每个\[ (a_j'\otimes 1)x(a_j''\otimes 1)=(a_j'a_1a_j'')\otimes b_1+(a_j'a_2a_j'')\otimes b_2+\cdots+(a_j'a_ra_j'')\otimes b_r\]

都在 $I$ 中，因此它们的和也在 $I$ 中，设这个和为 $x'$，则 $x'$ 与 $x$ 有同样的长度但是形如

\[ x'=1\otimes b_1+\cdots.\]

所以我们不妨一开始就假设在 $x$ 的表达式中有 $b_1=1$。任取 $a\in A$，则

\[ (a\otimes 1)x -x(a\otimes1) =(aa_2-a_2a)\otimes b_2+\cdots+(aa_r-a_ra)\otimes b_r\in I.\]

然而它的长度小于 $r$ 因此必须是 $0$，即对每个 $i=2,\ldots,r$ 有 $aa_i=a_ia$，由 $a$ 的任意性可知每个 $a_i$ 都属于 $A$ 的中心 $Z(A)=F$，因此

\[ x=1\otimes a_1+1\otimes a_2b_2+\cdots+1\otimes a_rb_r=1\otimes(b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r)\in I.\]

注意由于 $b_i$ 是线性无关的所以 $b=b_1+a_2b_2+\cdots+a_rb_r\ne0$。

总之我们证明了在 $I$ 中存在一个形如 $1\otimes b$ 的元素。

剩下的事情就很容易了：

\[ I\supset (1\otimes B)1\otimes b(1\otimes B)=1\otimes BbB=1\otimes B,\]

从而

\[I\supset (A\otimes1)(1\otimes B)=A\otimes B,\]

这就证明了 $I=A\otimes B$，即 $A\otimes B$ 是单代数。

要证明 $A\otimes B$ 的中心等于 $F$，我们故技重施：设

\[ z= a_1\otimes b_1+a_2\otimes b_2+\cdots+a_m\otimes b_m\]是 $Z(A\otimes B)$ 中的一个非零元素，则对任何 $a\in A$ 有

\[(a\otimes1)z-z(a\otimes1)=\sum_{i=1}^m(aa_i-a_ia)\otimes b_i=0.\]

由于 $b_i $ 是线性无关的，因此每个 $aa_i=a_ia$，即 $a_i\in Z(A)=F$，从而

\[z=1\otimes(a_1b_1+\cdots+a_mb_m)=1\otimes b.\]

同样的推理可得 $b\in Z(B)=F$，设 $b=\beta\cdot\mathrm{1}$ 则 $z=\beta(1\otimes1)$。于是我们证明了 $A\otimes B$ 的中心就是 $F(1\otimes1)$，即 $A\otimes B$ 是中心单的。

虽然这个定理的证明有点长，但是每一步都不难，而且有了它，我们就可以得出很多中心单代数的重要性质来。

定理 2：设 $A$ 是 $F$ 上的中心单代数，则 $A\otimes A^{op}\cong \mathrm{M}_n(F)$，这里 $n=\dim_F A$。

背后的道理很简单：设 $V$ 是一个 $(A,B)-$ 双模，则 $V$ 自然是一个左 $A\otimes B-$ 模。在这里 $A$ 既是一个左 $A-$ 模也是一个右 $A^{op}-$ 模，从而是一个 $A\otimes A^{op}-$ 模。即存在代数同态 \[A\otimes A^{op}\to \mathrm{End}_F(A).\]

由定理 1 知道 $A\times A^{op}$ 是一个单代数从而这是一个单射，比较两边维数即得这是一个同构。

定理 3【Noether - Skolem】：设 $A$ 是一个中心单代数，$B$ 是单代数，$f,g:B\to A$ 是从 $B$ 到 $A$ 的两个代数同态，则存在 $A$ 中的可逆元 $u$ 满足

\[f(b) =u^{-1}g(b)u,\quad \forall b\in B.\]

特别的，我们得到中心单代数的自同构都是内自同构。

这个定理背后的想法也是非常的简单，只是需要一点 Wedderburn - Artin 半单代数理论的知识：对于一个单代数 $B$，在同构意义下 $B$ 只有唯一的一个不可约模 $V$。任何左 $B-$ 模都是完全可约的，因此可以分解为一些 $V$ 的直和，从而两个左 $B-$ 模 $W,W'$ 是同构的当且仅当它们作为 $F-$ 向量空间的维数相同：

\[\dim_F W=\dim_F W'.\]所以对于一个单代数而言，判定它的两个模是否同构是很简单的。

回到定理的证明，我们先处理 $A=\mathrm{M}_n(F)$ 的情形：这时我们可以在 $F^n$ 上定义两种不同的 $B-$ 模结构：$b\cdot x =f(b)x$ 和 $b\circ x=g(b)x$。我们说了两个 $B-$ 模是否同构只看它们作为向量空间的维数即可，显然这里的 $(B,\cdot)$ 和 $(B,\circ)$ 是同构的，因此存在可逆线性变换 $T:F^n\to F^n$ 使得

\[ b\cdot (Tx)=T(b\circ x),\]

即 $f(b)=T^{-1}g(b)T$，因此在 $A=\mathrm{M}_n(F)$ 的情形定理成立。

对于一般的情形，考虑 $f\otimes 1:B\otimes A^{op}\to A\otimes A^{op}$。这时后者同构于 $\mathrm{M}_n(F)$ 因此上面的情形可用，即存在 $A\otimes A^{op}$ 中的可逆元 $T$ 满足对任何 $b\otimes a^{op}$ 有

\[ (f\otimes 1)(b\otimes a^{op})=T^{-1}(g\otimes 1)(b\otimes a^{op})T.\qquad (\ast)\]

取 $b=1$ 我们有

\[ 1\otimes a^{op}=T^{-1}(1\otimes a^{op})T.\]

即 $T$ 与 $1\otimes A^{op}$ 交换。现在我们只要一个简单的引理：

引理：设 $A$ 是中心单代数，$B$ 是单代数，则 $B\otimes A$ 中与 $1\otimes A$ 交换的集合恰好是 $B\otimes1$。

引理的证明仿照定理 1 的模式即可，这里省略。

于是存在 $u\in A$ 使得 $T=u\otimes1$，代入到 $(\ast)$ 中去即得 $f(b)=u^{-1}g(b)u$。

最后我们来证明著名的双中心化子定理。

定理 4【双中心化子定理】：设 $A$ 是 $F$ 上的中心单代数，$B$ 是 $A$ 的单子代数，$C$ 是 $B$ 在 $A$ 中的中心化子：

\[C=\{ c\in A:\ cb=bc,\ \forall b\in B\}.\]

则我们有

1. $C$ 也是 $A$ 的单子代数；

2. $\dim_F A=(\dim_F B)(\dim_F C)$。

3. $B$ 的中心化子是 $C$。

证明：考虑中心单代数 $A\otimes\mathrm{End}_F(B)$，以及 $B$ 到 $A\otimes\mathrm{End}_F(B)$ 的两个代数同态 $b\to b\otimes1$ 和 $b\to 1\otimes l(b)$（这里 $l(b)$ 是 $b$ 在自身上的左乘）。Noether - Skolem 定理断言存在 $x\in A\otimes\mathrm{End}_F(B)$ 使得

\[ b\otimes 1=x^{-1}(1\otimes l(b))x.\]

即 \[B\otimes 1 =x^{-1}(1\otimes l(B))x.\]

两边求中心化子，得到

\[ C\otimes\mathrm{End}_F(B)=x^{-1}(A\otimes r(B))x.\]

（这里我们利用了一个简单的结论：设 $A,A'$ 是两个代数，$B$ 是 $A$ 的子代数，则 $B\otimes 1$ 在 $A\otimes A'$ 中的中心化子就是 $C\otimes A'$。）

于是 $C\otimes\mathrm{End}_F(B)$ 同构于一个单代数，从而 $C$ 必须是单代数，这证明了 1；而且比较维数有

\[(\dim_F C) (\dim_F B)^2=(\dim_F A)(\dim_F B),\]

即 \[(\dim_F C)(\dim_F B)=\dim_F A,\]

这证明了 2。

最后设 $C$ 的中心化子为 $C_A(C)$，根据 1,2 结论有

\[ \dim_F B =\dim_F C_A(C)=\frac{\dim_F A}{\dim_F C}.\]

然而 $B\subset C_A(C)$，二者维数相同因此必然相等，这就证明了 3。