筛选法求素数和康托展开

筛选法求素数：不说直接上代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define MAXN 10000005

bool p[MAXN];
int main()
{
	int N;
	memset(p,false,sizeof(p));
	scanf("%d",&N);
	for(int i=4;i<=N;i+=2)
		p[i]=true;
	for(int i=3;i<=sqrt(N);i+=2)
	{
		int k=i*2;
		for(int j=i*i;j<=N;j+=k)
			p[j]=true;
	}
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!p[i])
			printf("%d ",i);
	}
	return 0;
}

康托展开：

一、康托展开：全排列到一个自然数的双射

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

适用范围：没有重复元素的全排列。

二、全排列的编码：

{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

代码：

#include<cstdio>  
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘  
int KT(int s[], int n)  
{  
    int i, j, cnt, sum;  
    sum = 0;  
    for (i = 0; i < n; ++i)  
    {  
        cnt = 0;  
        for (j = i + 1; j < n; ++j)  
            if (s[j] < s[i]) ++cnt;  
        sum += cnt * fac[n - i - 1];  
    }  
    return sum;  
}  
int main()  
{  
    int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8};  
    printf("%d\n", 1 + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884=98885 
}  

康托展开就是一种特殊的哈希函数

　　把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]*n!+a[n-1]*(n-1)!+...+a[2]*2!+a[1]*1!

　　其中，a为整数，并且0<=a<i,i=1,2,..,n

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个
。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以
有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的代码（C语言）：

//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.
　　int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//...
　　long cantor(int s[],int n){
　　int i,j,temp,num;
　　num=0;
　　for(i=1;i<n;i++){//n为位数
　　temp=0;
　　for(int j=i+1;j<=n;j++){
　　if(s[j]<s[i]) temp++;
　　}
　　num+=fac[n-i]*temp;
　　}
　　return (num+1);
　　}

康托展开的逆运算
　　例 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

　　(1)找出第96个数

　　首先用96-1得到95

　　用95去除4! 得到3余23

　　用23去除3! 得到3余5

　　用5去除2!得到2余1

　　用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4

　　所以第一位是4

　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）

　　有2个数比它小的数是3

　　有1个数比它小的数是2

　　最后一个数只能是1

　　所以这个数是45321

　　(2)找出第16个数

　　首先用16-1得到15

　　用15去除4!得到0余15

　　用15去除3!得到2余3

　　用3去除2!得到1余1

　　用1去除1!得到1余0

　　有0个数比它小的数是1

　　有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

　　有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

　　有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

　　最后一个数只能是2

　　所以这个数是14352

代码：

#include<cstdio>  
#include<cstring>  
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘  
bool vis[10];  
//n为ans大小，k为全排列的编码  
void invKT(int ans[], int n, int k)  
{  
    int i, j, t;  
    memset(vis, 0, sizeof(vis));  
    --k;  
    for (i = 0; i < n; ++i)  
    {  
        t = k / fac[n - i - 1];  
        for (j = 1; j <= n; j++)  
            if (!vis[j])  
            {  
                if (t == 0) break;  
                --t;  
            }  
        ans[i] = j, vis[j] = true;  
        k %= fac[n - i - 1];///余数  
    }  
}  
   
int main()  
{  
    int a[10];  
    invKT(a, 5, 16);  
    for (int i = 0; i < 5; ++i)  
        printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2  
}