群、环、体、域的基本概念
群的定义和简单性质
定义，如果一个非空集合G上定义了一个二元运算o，满足：
1）结合律，推广（广义结合律：对于任意有限多个元素....）
2）存在幺元（单位元）
3）存在逆元
4）交换律（满足的话，称G为交换群或Abel群）
半群——非空集合S有二元运算，此运算满足结合律
幺半群——具有幺元的半群
命题：
1）群的幺元唯一
2）群中任一元素的逆元唯一
3）群中有消去律（左消去律和右消去律）
群所含的元素个数称为群的阶，群G的阶记为lGl,lGl小于无限为有限群，反之无限群
设M是一个非空集合，M到自身的双射的全体对于映射的乘法（即复合）构成一个群，叫做M的全变换群，记为S（M）
对称群和交错群
设M是含有n个元素的集合，M的全变换群S（M）称为n级对称群，记为Sn。
我们可以假定M={1，2,...,n}，Sn的元素称为n元置换
σ=（1 2 ... n )
(σ1 σ2 ... σn)
σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,....,σ(it）=i1，且i1，i2,...it之外的元素在σ下都保持不变，则称σ为i1，i2,...it的轮换，t=2时称为对换
命题：对称群Sn中任一不等于幺元的元素都可以唯一地分解为不相交的轮换的乘积。（不计顺序）
推论：任一置换可以分解为对换的乘积
命题：任一给定的置换分解为对换的乘积时出现的对换个数的奇偶性不变
（标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数）
（由行列式理论，每一个对换都使得{1，2，...，n}的任一排列的逆序数改变一个奇数）
奇置换——置换等于偶数个对换的乘积
偶置换——置换等于奇数个对换的乘积
n级交错群——有限集合偶置换
子群、陪集、Lagrange定理
子群：
定义：设H为群G的非空子集。如果H在G的运算下构成群，则称H为G的子群，记作H《=G。
命题：设G是群，H属于G，H不等于空集，则下列命题等价：
1）H小于等于G
2）对任意的a，b属于H，恒有ab属于H和a^-1属于H
3）对任意的a，b属于H，恒有ab^-1属于H（或a^-1*b属于H）
命题:设G是群，H属于G，H不等于空集，下列等价
1）H小于等于G
2）H^2属于H且H^-1属于H
3）HH^-1属于H或（H^-1*H属于H）
平凡子群,任何群都有两个子群G本身和{e}，子群{e}叫做G的平凡子群
真子群，H不等于G，则称H为G的真子群
定义：设G为群，M属于G且非空，称G的所有包含M的子群的交为由M生成的子群，记作<M>
<M>={e,a1a2...an l ai属于M并M^-1,n=1,2,,,}.
如果<M>=G，我们称M为G的一个生成系，或称G由M生成
仅由一个元素a生成的群<a>叫做循环群
在群{<0°，60°，120°，180°，240°，300°>，*}中，60°即为该群的生成元。
由有限多个元素生成的群叫做有限生成群
群中任意元素a，我们称<a>的阶为元素a的阶，记作o(a)
o(a)是满足a^n=e的最小正整数n
群中所有元素的阶的最小公倍数叫做群的方次数，记作exp（G）
陪集：
a~l~b 定义为：存在h属于H，使得a=b*h
1）反身性
2）对称性
3）传递性
定义：设H小于等于G，a属于G，称aH（Ha）的子集为H的一个左（右）陪集
H的左陪集的个数（不一定有限），称为H在G中的指数，记为 l G:H l
H在G中的左、右陪集个数相等，都是 l G:H l
Lagrange定理：设G是有限群，H小于等于G，则 l G l = l G:H l * l H l
推论：有限群G的任一元素a的阶o（a）整除G的阶；于是a^lGl=e.
正规子群与商群
命题：设G是群，H小于等于G，则H的任意两个左陪集的乘积仍是左陪集的充分必要条件是：aH=Ha （任意a属于G）
正规子群：
设G是群，H小于等于G，如果aH=Ha（任意a属于G），则称H为G的正规子群
任何群G本身和平凡子群{e}都是正规子群，如果除此之外，群G没有其他的正规子群，则被称为单群
命题：设G是群，H小于等于G，则以下三条等价
1）H是G的正规子群
2）a^-1*H*a=H（任意a属于G）
3)a^-1*h*a属于H（任意h属于H，a属于G）
命题：设G是群，H是G的正规子群，则H的陪集在乘法下构成群，称G关于H的商群，记为G/H
陪集乘法封闭——结合律，幺元，逆元，所有的Abel群的子群都是正规子群。