（图论）使用Havel-Hakimi定理判断给出的序列是否可图

先行概念：

度序列（degree sequence）：若把图 G所有顶点的度数排成一个序列 s，则称 s为图 G的度序 列。例如，图 1.1(a)所示无向图 G1的度序列为 s: 2, 5, 4, 3, 3, 1；或 s': 1, 2, 3, 3, 4, 5；或 s'': 5, 4, 3, 3, 2, 1。 其中序列 s 是按顶点序号排序的，序列 s'是按度数非减顺序排列的，序列 s''是按度数非增顺序排 列的。给定一个图，确定它的度序列很简单，但是其逆问题并不容易，即给定一个由非负整数组 成的有限序列 s，判断 s是否是某个图的度序列。 序列是可图的（graphic）：一个非负整数组成的有限序列如果是某个无向图的度序列，则称 该序列是可图的。判定一个序列是否是可图的，有以下 Havel-Hakimi 定理。

引入正题

Havel-Hakimi定理是由非负整数组成的非增序列 s：d1, d2, …, dn(n ≥ 2, d1 ≥ 1)
是可图的，当且仅当序列
s1: d2 – 1, d3 – 1, …, dd1+1 – 1, dd1+2, …, dn 是可图的。序列 s1中有 n-1 个非负整数，s 序列中 d1后的前 d1个度数（即 d2～dd1+1）减 1 后构成 s1中的前 d1个数。 例如，判断序列 s: 7, 7, 4, 3, 3, 3, 2, 1是否是可图的。删除序列 s的首项 7，对其后的 7项每项 减1，得到：6, 3, 2, 2, 2, 1, 0。继续删除序列的首项 6，对其后的 6项每项减 1，得到：2, 1, 1, 1, 0, -1，到这一步出现了负数。由于图中不可能存在负度数的顶点，因此该序列不是可图的。 再举一个例子，判断序列 s: 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1 是否是可图的。删除序列 s的首项 5，对其 后的 5项每项减 1，得到：3, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1，重新排序后为：3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1。继续删除序 列的首项 3，对其后的 3项每项减 1，得到：1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1。如此再陆续得到序列：1, 1, 1, 1, 1, 1, 0；1, 1, 1, 1, 0, 0；1, 1, 0, 0, 0；0, 0, 0, 0。由此可判定该序列是可图的。 Havel-Hakimi 定理实际上给出了根据一个序列 s构造图（或判定 s不是可图的）的方法：把序 列s按照非增顺序排序以后，其顺序为 d1, d2, …, dn；度数大的顶点（设为 v1），将它与度数次大 的前 d1 个顶点之间连边，然后这个顶点就可以不管了，即在序列中删除首项 d1，并把后面的 d1 个度数减 1；再把剩下的序列重新按非增顺序排序，按照上述过程连边；…；直到建出完整的图， 或出现负度数等明显不合理的情况为止。 例如，对序列 s: 3, 3, 2, 2, 1, 1构造图，设度数从大到小的 6个顶点为 v1～v6。首先 v1与v2、 v3、 v4连一条边，如图 1.4(a)所示；剩下的序列为 2, 1, 1, 1, 1。如果后面 4个1对应顶点 v3、v4、v5、 v6，则应该在 v2与v3、v2与v4之间连边，后在 v5与v6之间连边，如图(b)所示。如果后面 4个1 对应顶点 v5、v6、v3、v4，则应该在 v2与 v5、v2与 v6之间连边，后在 v3与 v4之间连边，如图(c) 所示。可见，由同一个可图的序列构造出来的图不一定是唯一的。

简单的来说：

执行过程如下：

1.先对度序列从大到小排序

2.选取第一个顶点的度为d，并将第一个顶点排除序列

3.对2-2+d内的顶点的度都减一。

重复执行这一个过程

判断不可图的条件：

1.在减一的过程中出现了负数

2.当前选取得到的d大于剩余的顶点的个数

以上条件满足其一都是不可图的

这里给出一个题目（hdoj的）

练习题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2454

在此给出我的解决代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;


const int MAXN=1005;
int seq[MAXN];

bool com(int a,int b)
{
    return a>b;
}

int main()
{
    int n;
    int m;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>m;
        int flag=1;
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            cin>>seq[i];
        }
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            sort(seq+i,seq+m,com);
            int d=seq[i];
            if(i+d>=m){
                flag=0;
                break;
            }
            for(int j=i+1;j<=i+d;j++)
            {
                seq[j]--;
                if(seq[j]<0){
                    flag=0;
                    break;
                }
            }
            if(!flag)
                break;
        }
        if(flag)
            cout<<"yes"<<endl;
        else
            cout<<"no"<<endl;
    }
 return 0;
}

文章前面的概念部分引用     王桂平、王  衍、任嘉辰 编著的《图论算法理论、实现及应用  》，如果不允许引用，请给我私信，我删除。