0-1背包问题的两种解法（回溯法和动态规划）

问题描述：

一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。

 

解法一——动态规划

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+p[n]}

程序如下:

#include<stdio.h> int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/ int knapsack(int m,int n) { int i,j,w[10],p[10]; for(i=1;i<n+1;i++) scanf("/n%d,%d",&w[i],&p[i]); for(i=0;i<10;i++) for(j=0;j<100;j++) c[i][j]=0;/*初始化数组*/ for(i=1;i<n+1;i++) for(j=1;j<m+1;j++) { if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/ { if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j]) /*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/ /*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/ c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]]; else c[i][j]=c[i-1][j]; } else c[i][j]=c[i-1][j]; } return(c[n][m]); } int main() { int m,n;int i,j; scanf("%d,%d",&m,&n); printf("Input each one:/n"); printf("%d",knapsack(m,n)); printf("/n");/ return 0; }

 

解法二——回溯法

比较易于理解，直接给出程序：

#include <stdio.h> #define N 3 int bestp; int cp; int x[N]; void knap(int c[N],int v[N],int t,int m) { if(t>N-1) { if(bestp<cp) bestp=cp; } else { knap(c,v,t+1,m);//不取 if(c[t]<=m)//取 { cp+=v[t]; m-=c[t]; knap(c,v,t+1,m); m+=c[t];//将状态还原！ cp-=v[t]; } } } int main() { int c[]={4,3,5},v[]={5,4,6}; int m=10; knap(c,v,0,m); printf("%d/n",bestp); return 0; }