斜率优化专题1——bzoj 1597 [Usaco2008 Mar] 土地购买 题解

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【原题】

1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

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Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Source

Gold

【分析】太神了！看了JokerPark大牛的博客，受益匪浅。但是有些地方开始还是没看懂，因此自己也推了半天公式。

设第i块地的长和宽是ai,bi。

①先考虑无效的边。设ai>=aj且bi>=bj,那么j一定是无效边。怎么求呢？首先我们把ai按升序排序，然后做一遍类似于单调队列的操作。枚举i，如果bi>=队列尾部的bj，那么尾指针就减1。因为a已经是升序排好了,ai>=aj是肯定的。

②去掉边后，我们还发现了一个有趣的性质。在队列中，因为a一定是升序排好的，那么b一定是降序的。（自己YY）

③于是DP方程呼之欲出：f[i]=max(f[i],f[j]+a[j+1]*b[i])。毫无疑问，这是一个超时的算法。现在就要推斜率优化了！！设在当前的状态f[i]时，从f[j]转移比f[k]优。那么f[j]+a[j+1]*b[i]<f[k]+a[k+1]*b[i]。化简一下：b[i]<(f[k]-f[j])/(a[j+1]-a[k+1])。说明，如果j和k满足上述要求，k可以无视了，因为j一定比k更优。根据这个，我们维护一个单调队列。

【代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 50005
using namespace std;
struct arr{long long x,y;}a[N],b[N];
long long f[N],q[N],n,i,h,t,m;
bool cmp(arr a,arr b){return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y>b.y;}
int main()
{
  scanf("%lld",&n);
  for (i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld%lld",&b[i].x,&b[i].y);
  sort(b+1,b+n+1,cmp);
  m=1;a[1].x=b[1].x;a[1].y=b[1].y;
  for (i=2;i<=n;i++)
  {
    while (m&&b[i].y>a[m].y) m--;
    a[++m].x=b[i].x;a[m].y=b[i].y;
  }
  h=1;t=1;q[1]=0;f[0]=0;
  for (i=1;i<=m;i++)
  {
    while ((h<t)&&(a[i].x*(a[q[h]+1].y-a[q[h+1]+1].y)>f[q[h+1]]-f[q[h]])) h++;
    f[i]=f[q[h]]+a[q[h]+1].y*a[i].x;
    while ((h<t)&&(f[i]-f[q[t-1]])*(a[q[t]+1].y-a[i+1].y)>=(f[i]-f[q[t]])*(a[q[t-1]+1].y-a[i+1].y)) t--;
    q[++t]=i;
  }
  printf("%lld",f[m]);
  return 0;
}