[置顶] 求自然数幂和的各种方法（还有坑）

求

∑i=1nikmodp

高斯消元

一个定理，k次方和一定可以由0~k-1次方和表示出来，设方程组解出来就好了。
O(k3)

倍增

我们设

f(n,k)=∑i=1nik

怎么算呢？
我们采用分治思想。
如果n是奇数那么

f(n,k)=f(n−1,k)+nk

否则，我们可以先求出n/2的f，然后对于n/2+1~n中的每个数都可以表示为n/2+i
那么

f(n,k)=f(n/2,k)+∑i=1n/2(n/2+i)k

二项式定理

f(n,k)=f(n/2,k)+∑i=1n/2∑j=0kCjk(n/2)k−jij

调换一下

f(n,k)=f(n/2,k)+∑j=0kCkjf(n/2,j)(n/2)k−j

O(k2lognlogk)

第一类斯特林数

参考WerKeyTom_FTD的blog
设

S(n,k)=∑i=1nik

引入 第一类斯特林数

Pnm=∑i=0nSs(n,i)mi

发现

jk=Ss(k,k)jk

于是

jk=k!Ckj−Pkj+Ss(k,k)jk

jk=k!Ckj−(Pkj−Ss(k,k)jk)

观察括号内的式子

Pkj−Ss(k,k)jk=∑i=0kSs(k,i)ji−Ss(k,k)jk

Pkj−Ss(k,k)jk=∑i=0k−1Ss(k,i)ji

于是

jk=k!Ckj−∑i=0k−1Ss(k,i)ji

S(n,k)=∑j=1n(k!Ckj−∑i=0k−1Ss(k,i)ji)

S(n,k)=k!∑j=1nCkj−∑i=0k−1∑j=1nSs(k,i)ji

S(n,k)=k!Ck+1n+1−∑i=0k−1Ss(k,i)∑j=1nji

S(n,k)=Pk+1n+1k+1−∑i=0k−1Ss(k,i)S(n,i)

减号前面暴力做就好了。因为它是k+1个连续自然数相乘，必然会有k+1这个因数。预处理Ss，递推S。 O(k2)