命题逻辑及其形式化系统的局限

前言：

命题逻辑（Propositional Logic）这个概念来自于西方现代数学领域，作为人类理性智慧对世界本质探索的第一次重大飞跃，对人类整个现代文明的推进起到了极其重要的作用。

命题逻辑系统中所反映出来的基本思想，对我们来说却从不陌生。公元前6世纪，古希腊出现了一大批从事“智慧”职业的人们，后世的人们普遍称呼这些前辈为哲学家，学者，辩论者等等。而同时期，在中古也处于一个极其相似的历史阶段。在中国同样出现了一批从事“智慧”职业的人，我们将他们统称为诸子百家。这些人有一些共同的特点，他们通过自己的观察和独立的思考，对整个世界的运行方式和各种现象进行了高度的抽象和概括。所有这些先贤们抽象出来的规律，奠定了现代逻辑学的思想基础。

公元前6世纪，古希腊克里特岛人埃匹门尼德（Epimenides）说过一句著名的话：

所有的克里特岛人都说谎。

这就是著名的说谎者悖论。随后这个说谎者悖论产生了各种其他形式，这种逻辑的游戏甚至成为了很多诡辩者的尚方宝剑。律师，政客，辩论家，甚至是很多的学者，在这样的背景下将这个工具打磨的愈加的完善。渐渐的随着知识的积累，作为整个人类的大文明体系，对这种思想的本质也越发的看的清楚。而被看清楚不光是这种工具的力量，更有这种思想工具的局限性。

 

正文：

在数理逻辑中，命题逻辑被定义为一种由逻辑运算符结合原子命题构成代表“命题”的公式，以及允许某些公式构成“定理”的形式化系统。

接下来对命题逻辑的讨论不考虑命题本身内部的构造，单纯将整个命题逻辑体系抽象为一种形式化的系统，所有的运算和证明都只在命题逻辑体系的基础上引申，不涉及更细节的解剖。

命题逻辑系统的形式化

以形式系统的角度来看，命题逻辑由以下的因素构成：

1. 逻辑运算符：﹁ ∧ ∨ → ↔ ( )

2. 原子命题：即不包含其他命题作为其组成部分的命题。

3. 推理规则：这里取较为通用的是个推理规则作为整个系统的规则基础。因为本质上在命题逻辑的系统下可以构建无数条永真式命题，这里只取其中较为基础的一部分。

a）双重否定：﹁﹁P=P

b）结合律:

(P∨Q)∨R=P∨(Q∨R),

(P∧Q)∧R=P∧(Q∧R),

(P↔Q)↔R=P↔(Q↔R),

(P→Q)→R ≠ P→(Q→R)

c）交换律：

P∧Q=Q∧P

P∨Q=Q∨P

P↔Q=Q↔P

P→Q↔Q→P

d）分配律

e）等幂律

f）吸收律

g）德摩根律

h）同一律

i）零律 ...

以上的三个部分构成了命题逻辑的整个体系系统。从形式上看，对于任何一个以原子命题为运算最小元的逻辑运算，都可以通过以上的逻辑符号和逻辑规则的作用下，转化成一定的形式，并最终获得一定的结果。

可以想象最早总结出这些逻辑规则的逻辑学家内心是怎样的心情。世界上所有的问题都可以通过一定程度的抽象，转换成一种逻辑形式的运算，如果可以制造出一种计算的机器，人们只需要把问题输入进去就能根据这些特定的规则得到一定的结果。后来的计算机科学的出现和这些逻辑学家的成果有着极其密切的关系。当然，命题逻辑系统本身并没有强大到可以完全支撑起这一切。

连接词 ∧、 ∨、﹁同构成计算机的与门，或门和非门电路，从而命题逻辑是计算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工具。也正是数理逻辑应用于实际，特别是应用于计算机科学推动了其自身的发展。

命题逻辑系统完备性的证明

在命题逻辑系统内，有﹁ ∧ ∨ → ↔ 这些不同的逻辑运算符（其中左括号“（”，右括号“）”在逻辑演算中起到的作用类似于控制运算的优先顺序，当然在特定的规则表示方法下，可以消除，这里不做深入讨论），但是在实际的逻辑运算中可以通过一定的规则和带入，可以消除一部分符号，因此，存在只使用其中的一部分符号就可以表示命题逻辑体系内所有命题的情形，即具有完备性。

下面我将尝试证明两个命题的真伪，来进一步讨论，命题逻辑系统的完备性。当然实际的情况下还需要考虑命题是合式公式的严格限定，但在此处不做深入讨论，即默认所有命题都是符合条件的合式公式。

命题一   {﹁、∧}和{﹁、∨}都是完备的。

证明：

假定 

{﹁、∧}和{﹁、∨}  是完备系统

则有

在命题逻辑系统中所有的命题，仅使用{﹁、∧}/{﹁、∨}  即可完全表示

这里先以{﹁、∧}为例，

令复合命题G包含命题逻辑所有的逻辑运算符﹁ ∧ ∨ → ↔

1. P左↔Q右部分

在逻辑运算的过程中“↔”左右布尔类型保持一致，这里转换成 “=”，拆分为 两部分命题的两部分分别证明布尔值相等即可。反复使用该规则到所有↔消去。

2. P左→Q右部分

在逻辑运算中，此处需要利用一条恒等式规则，P→Q=﹁P∨Q(该恒等式的证明不困 难，构造真值表即可得)可以将命题中所有的P左→Q右部分，转换成P左∧Q右的 形式。反复使用改规则到所有→符号消去。

3.  P左∨Q右部分

此处又需要借助另一恒等式，根据著名的德摩根律有﹁(P∨Q)=﹁P∧﹁ Q，根据此 规则，所有P左∨Q右部分可转换成﹁（﹁P左∧﹁Q右部分）的形式，反复使用 该规则，到所有∨消去。

至此，命题逻辑中{∨、→、↔}全部都消去，即复合命题G在{﹁、∧}下完备。

又命题G包含了所有命题逻辑运算的符号，

因此对于所有命题{﹁、∨}是完备的。

同理可以证明{﹁、∨}是完备的。（同样使用析取式的德摩根律即可）

 

命题二   {→、∧}是不完备的。

证明：

如果要证明{→、∧}不完备，只需在该符号体系下构建一个不能仅使用该符号体系表达 的命题即可。

令一命题G包含﹁符号，在该符号体系内，﹁符号无法转换成任意一种形式。

而包含﹁符号的命题一定存在，因此{→、∧}系统不完备。

命题二得证。

注：同样的，利用反证法，还可以证明{﹁、∧、∨、↔}也是不完备的。

命题逻辑系统在描述自然语言逻辑系统方面的局限

在实际的逻辑系统中还存在一些特殊的情况，无法在命题逻辑的系统下进行有效的表示。在命题逻辑系统出现之后，很快就有人发现了这些问题的地方，并尝试对命题逻辑体系进行完善和修补。这些工作的结果产生了很多逻辑的细分方向，多值逻辑，模态逻辑，不确定和非单调逻辑等。

接下来，通过一些简单的例子对命题逻辑体系的局限性进行进一步的说明。

例如：命题P表示所有的同学考试都及格了。命题Q表示肯定有同学考试及格了。

在这个例子里面，如果用命题逻辑的系统表示，是两个不同的命题，分别是命题P、Q。但是深入这个命题内部，我们会发现一个重要的信息：这两个命题表示的发生的事件都是“考试及格”这个动作，唯一不同的地方是一个是“所有同学”都发生了这个动作，另一个是“肯定有同学”即一部分同学发生了这个动作。

在逻辑命题系统下，如果只看命题的形式化后的符号，无法精确的判断出这两个命题之间还有这样的关系。也就是说，在命题逻辑系统下，这两个命题包含的逻辑信息发生了丢失。这两个命题其实表达的都是“**考试及格了”这一动作，仅仅是发生动作主体的范围有所不同。

再例如：说谎者悖论所表述的命题，在正常的常识思维下，这样的命题只会推导出矛盾，因而不会存在这样的怪物存在。但是，在命题逻辑的系统下，最小的逻辑运算单元是原子命题。所有这样在常识上不正常的怪物，在命题逻辑的系统下，都生存的很好。

随着现代数学的发展，这些逻辑悖论会继续以一种新的形式进化，然后推动着体系的进一步完善。其实，一直到现在为止，这一过程仍然在进行当中，现代数理逻辑体系当中依然存在着各种形式的悖论怪物。而这些怪物才是推动现代数学进一步发展的真正原动力，也同时作为异端提醒着人类，我们的理性和智慧有极限，如何突破这些极限决定着整个人类文明下一步的发展。

参考资料：

《逻辑学是什么》陈波 北京大学出版社 2002

《离散数学教程》 耿素云 屈婉玲 王捍贫 北京大学出版社 2002

《数理逻辑与集合论》 石纯一 王家廞 清华大学出版社

《数理逻辑》（美）Herbert. B. Enderton 译者沈复兴 陈磊 孙运传2006