【美团校招在线考试笔试题】钱币面值组合

     要求：假设我们有8种不同的钱币面值{1，2，5，10，20，50，100，200}，用这些钱币组合成一个给定的数值n，如：n=200.那么一种可能的组合方式为：200=3*1+1*2+1*5+2*20+1*50+1*100.求总共存在多少种组合方式？

注：这是本人参加美团校招在线考试的笔试题（共两道，另一题请参看我的博客：【美团校招笔试题】去除字符串首尾空格，中间多个空格只保留一个）

思路一：最简单的方式就是用暴力破解，即用多层for循环枚举出每种可能，然后判断该情况是否符合要求，用sum来保存最终符合情况的组合数，初始化为0，如果符合，则sum++，当for循环执行完后，sum的值即为最终结果，但是注意此题，共8种不同钱币面值，所以得用8层for循环，在在线考试的运行环境下，是很难及时出结果的。本人参加美团在线笔试时就是用的此方法，结果提交后，一直等待输出。

思路二：

给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币{V1, V2, ..., Vm}，如果要组合成sum，则

                          sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm 

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数{x1, x2, ..., xm}的所有可能个数。

我们希望用m种硬币构成sum，根据最后一个硬币Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，xm分别取｛0, 1, 2, ..., sum/Vm｝，换句话说，上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm

...

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm  

　　其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。可是这又有什么用呢？不要急，我们先进行如下变量的定义：

dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数。

　　那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数。在上面的联合等式中：当xn=0时，有多少种组合呢？ 实际上就是前i-1种硬币组合sum，有dp[i-1][sum]种！ xn = 1 时呢，有多少种组合？ 实际上是用前i-1种硬币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种; xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种，等等。所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。所以：

dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]

+ dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

归纳成数学表达式即为：

如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种硬币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0. （通过此分析可知该思路实质上是动态规划）。

基于上述思路代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>

using namespace std;

/****************************************************************
 * coin Combinations: using dynamic programming
 *
 * Basic idea:
 * dp[i][j] = sum(dp[i-1][j-k*coins[i-1]]) for k = 1,2,..., j/coins[i-1]
 * dp[0][j] = 1 for j = 0, 1, 2, ..., sum
 * 
 * Input:
 * coins[] - array store all values of the coins
 * coinKinds - how many kinds of coins there are
 * sum - the number you want to construct using coins
 *
 * Output:
 * the number of combinations using coins construct sum
 *
 * Usage:
 * c[3] = {1, 2, 5};
 * int result = coinCombinations(c, 3, 10);
 *
 ****************************************************************/
int coinCombinations(int coins[], int coinKinds, int sum)
{
    // 2-D array using vector: is equal to: dp[coinKinds+1][sum+1] = {0};
    vector<vector<int> > dp(coinKinds + 1);
    for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    {
        dp[i].resize(sum + 1);
    }
    for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    {
        for (int j = 0; j <= sum; ++j)
        {
            dp[i][j] = 0;
        }
    }

    //init: dp[i][0] = 1; i = 0, 1, 2 ..., coinKinds
    //Notice: dp[0][0] must be 1, althongh it make no sense that
    //using 0 kinds of coins construct 0 has one way. but it the foundation
    //of iteration. without it everything based on it goes wrong
    for (int i = 0; i <= coinKinds; ++i)
    {
        dp[i][0] = 1;
    }

    // iteration: dp[i][j] = sum(dp[i-1][j - k*coins[i-1]])
    // k = 0, 1, 2, ... , j / coins[i-1]
    for (int i = 1; i <= coinKinds; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= sum; ++j)
        {
            dp[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k <= j / coins[i-1]; ++k)
            {
                dp[i][j] += dp[i-1][j - k * coins[i-1]];
            }
        }
    }

    return dp[coinKinds][sum];
}

int main()
{
    int coins[8] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200};
    int sum = 200;
    int result = coinCombinations(coins, 8, 200);
    cout << "using 8 kinds of coins construct 200, combinations are: " << endl;
    cout << result << endl;
    return 0;
}

程序运行结果如下：