Idiot 的乘幂

题目大意及模型转换

给定两个同余方程 XA≡B(modP)，XC≡D(modP)。 求方程小于P的解。其中 GCD(A,C)=1,GCD(B,P)=1,GCD(D,P)=1。

暴力解法

枚举P以内的数代入验证。

一种思考

这个方程难解，不过我们可以考虑以下方程。
XA≡B(modP)
XA+1≡D(modP)
那么我们可以得到
BX≡D(modP)
显然两边同乘以 B 关于 P 的逆元 B−1
就可以变为
X≡DB−1(modP)
因此，将原方程化为上面这样的方程，会比较好做。

更快的暴力

我们现在只需要解出ax-cy=1或cy-ax=1。
可以用辗转暴力法。
对于a和c，如果a>c变为a-c和c，否则变为a和c-a。由于保证了gcd(a,c)=1，因此最后a和c会变成相差为1。

扩展欧几里德解方程

上面那个方程实际上可以化为ax+cy=1，然后解出来后变为正数做快速幂搞搞搞。
首先我们来学习一下裴蜀定理。
对于 a和b，gcd(a,b)=d。那么方程ax+by=d一定存在整数解。
先来个werkeytom感性理解证法。
我们设 a′=ad,b′=bd,显然gcd(a′,b′)=1。
逆元大家都知道吧，互质的数互相存在逆元。
ax+by=d 有解，那么肯定 a′x+b′y=1 也有解。
可以化为 a′x≡1(mod b′)
那么就得证了。
扩展欧几里德算法就是用来解 ax+by=d 这样的方程。
具体算法步骤自行百度。
那么通过扩展欧几里德算法可以解出 ax+cy=1 这个方程，然后进行快速幂，最后化为相差为1的方程。求逆元也可以用扩展欧几里德算法。此题完美解决。

注意

最后得出的解要代入验证看是否是真的解（如果不是，则无解）。