素数线性筛模板与证明

#include<stdio.h>
const int TOP=1e7+10000;//+10000是为了多筛一个素数
bool e[TOP];
int p[TOP/5];
int pnum;
void prime()//O(n)筛素数，e[x]==0表示x为素数
{
    e[0]=e[1]=1;pnum=0;
    for(int i=2;i<TOP;i++)
    {
        if(e[i]==0)p[++pnum]=i;
        for(int j=1;j<=pnum&&p[j]*i<TOP;j++)
        {
            e[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    prime();
    return 0;
}
/*
for(int i=2;i<TOP;i++)
{
    if(e[i]==0)p[++pnum]=i;//如果这个数是素数，记录保存在p中
    不管这个数是不是素数，使用这个数和前面的素数筛选
    每个数都可以表示成p1^a1*p2^a2...pn^an(p1<p2<...<pn)的形式
    所以其就可以一定可以用p1*(p1^(a1-1)*p2^a2...pn^an)来筛除
    我们枚举所有素数，肯定能枚举得到关于i的最小的素因子
    for(int j=1;j<=pnum&&p[j]*i<TOP;j++)
    {
        e[p[j]*i]=1;//p[j]*i一定不是素数，可以被筛掉。
        if(i%p[j]==0)break;//对于i，我们只扩展——1，i*"i中不包含的素数"；2，i*"i所包含的最小素数"
        如何保证每个合数都被筛到？
        对于i，我们只扩展——1，i*"i中不包含的素数"；2，i*"i所包含的最小素数"。
        比如，p1^a1*p2^a2...pm^am(p1<p2<...<pm)可以筛得的是p1^(a1+1)*p2^a2...pm^am(p1<p2<...<pm),或者p0^a0*p1^a1*p2^a2...pm^am(p0<p1<p2<...<pm,p0表示比p1小且原来不在x中的素数)
        这样子，每个数是一定能被筛出来的，因为p1^a1*p2^a2...pn^an(p1<p2<...<pn)前面一定有p1^(a1-1)*p2^a2...pn^an(p1<p2<...<pn)，而p1^(a1-1)*p2^a2...pn^an(p1<p2<...<pn)是一定可以筛到它的
        由于这个关系，显然也保证了每个数最多只被筛一次。
    }
}
*/