JSOI2013 旅行时的困惑

题目大意

给定一棵无根有向树（树边是有向边，并且树可能不联通），你需要用最少的路径来覆盖完所有的树边。路径的方向必须与其覆盖到的树边相反，并且路径也是有向的。每个点或边可以被覆盖多次。

解题思路

假如这题中每个点只能被覆盖一次的话，那么就是最简单的最小路径覆盖了。

但是这题中每个点可以被覆盖多次，但是假如我们把一条边也看作一个点，也就是说现在总共有 2N−1 个点，我们发现每个点最多只会被作为起点一次。那么原问题现在就等价于用最少的起点使得他能覆盖完所有的点了。（注意现在已经没有了边的概念了）

新版最小点覆盖

我们现在的问题变为了：
给定一个 N 个点的有向无环图，每个点只能被作为起点一次，要你求出用最少的起点能遍历完所有的点。

做法

假如不考虑一个起点能覆盖多个点的情况的话，答案显然就是 N 了。

我们要求原问题最小，相当于要覆盖尽量多的点。

假如我们一个点只能被覆盖一次的话，那就是经典的最小点覆盖。
做法是将一个点拆为 Xi,Yi ,原点向 Xi 连流量为 1 的边， Yi 向汇点连流量为 1 的边，原图中若 i→j 则 Xi→Yj 流量为 +∞ 的边。最后答案就是 N− 最大流。

上面做法的正确性显然，因为我们一个点 i 只能被覆盖一次，其实也相当于一个点只能有一条出边，那么我们网络流相当求出了最多能覆盖到多少个点。

但是我们现在一个点可以被覆盖多次，上面的做法就失效了。但是修正的做法也是非常简单的，我们只需要加上若原图中 i→j ,则 Xi→Yj,Yi→Yj 流量为 +∞ 的边就好了。

Yi→Yj 这条边相当于允许一个点继续向外延伸。

那么这样可不可能出现问题呢？？

比如说一条 i→j→k 的路径，我们是否会计算少呢？？因为我们可能就对应了网络流中 Xi→Yj→Yk 这条增广路了。

事实上并不会这样。

因为我们是在做最大流，我们会增广出这样的两条路 Xi→Yj,Xj→Yk .

若我们会增广出 Yi→Yj 这条路，只会是因为 Xi 已经被增广过了，被计入了答案。所以这种做法不会出现问题。

我们最终得到了一个相对优秀的算法， |V|=O(N),|E|=O(M)