简单问题窥见数学
51 nod 是个好的学习网站，不仅算法分级，而且可以查看别人的优秀代码（过了之后才能查看）。接下来的一些问题就是来自那里。
51 nod 1413 权势二进制（简单数字游戏·贪心）
题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1413
一个十进制整数被叫做权势二进制，当他的十进制表示的时候只由0或1组成。例如0，1，101，110011都是权势二进制而2，12，900不是。
当给定一个n的时候，计算一下最少要多少个权势二进制相加才能得到n。
Input
单组测试数据。
第一行给出一个整数n (1<=n<=1,000,000)
Output
输出答案占一行。
Input示例
9
Output示例
9
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner(System.in);
String str;
int [] m=new int [7];
while(sc.hasNext()){
str=sc.next();
Arrays.fill(m,0);
int length=str.length();
for(int i=0;i<length;i++){
m[i]=str.charAt(i)-48;
}
int ans=0;
for(int i=0;i<length;i++){
if(m[i]>0){
ans+=m[i];
for(int j=i+1;j<length;j++){
m[j]-=m[i];
}
}
}
System.out.println(ans);
}
}
}
51nod 1381 硬币游戏（简单概率）
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1381有一个简单但是很有趣的游戏。在这个游戏中有一个硬币还有一张桌子，这张桌子上有很多平行线（如下图所示）。两条相邻平行线之间的距离是1，硬币的半径是R，然后我们来抛硬币到桌子上，抛下之后硬币有时候会和一些直线相交（相切的情况也算是相交），有时候不会。
请你来计算一下抛一次硬币之后，该硬币和直线相交数目的期望。
Input
第一行给出一个整数T，表示有T组数据(1<=T<=10000)。
第2行到T+1，每行给出一个整数R。(0< R <= 10,000,000,000)
Output
对于每一个数据，在一行中输出答案的整数部分即可。
Input示例
1
1
Output示例
2
分析：因为r是一个整数，所以问题好想的多，圆和直线相交的个数有2r+1（相切）和2r两种结果，后者有一个单位长度的线段概率，前者只有一个点的概率。所以答案就是2r.
接下来的一个问题是比赛遇到的：
Rectangle
[(\frac{k}{2}-i)\times m -\frac{\frac{k}{2}-i+1}{2}\times(\frac{k}{2}-i)+\frac{k}{2}-i]\\=(n-i+1)(jm-\frac{j+1}{2}\times j+j)\\=(n-i+1)\times \frac{j}{2}\times [2m-j+1])
51nod 1393 0和1相等串
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#problemId=1393¬iceId=23885
分析：为了让统计数据变化，将所有的0变成-1，一次遍历。观察规律：
1 0 0 0 1
0 1 0 -1 -2 -1
计算数据反映了变化的趋势。 寻找sum[i]=sum[j] 长度就是最大的j-i.
学习了别人的代码（来自“姿态决定命运”）：加长数组的宽度，和上面的哈希思想类似。可以看出不用STL确实快了好多。400ms VS 31ms
51nod 1417 天堂里的游戏（博弈&数学推导）
分析：
接下来的一个问题是比赛遇到的：
Rectangle
frog has a piece of paper divided into n rows and m columns. Today, she would like to draw a rectangle whose perimeter is not greater than k.
There are 8(out of 9) ways when n=m=2,k=6
Find the number of ways of drawing.
Find the number of ways of drawing.
Input
The input consists of multiple tests. For each test:
The first line contains
3
integer
n,m,k
(1≤n,m≤5⋅104,0≤k≤109).
Output
For each test, write
1
integer which denotes the number of ways of drawing.
Sample Input
2 2 6
1 1 0
50000 50000 1000000000
Sample Output
8
0
1562562500625000000
分析：
继续设想：当i=3呢，那么(m-1+1)-->(m-3+1);所以设q=min(n,k/2-1)，j=k/2-i。51nod 1393 0和1相等串
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#problemId=1393¬iceId=23885
给定一个0-1串，请找到一个尽可能长的子串，其中包含的0与1的个数相等。
Input
一个字符串，只包含01，长度不超过1000000。
Output
一行一个整数，最长的0与1的个数相等的子串的长度。
Input示例
1011
Output示例
2
1 0 0 0 1
0 1 0 -1 -2 -1
计算数据反映了变化的趋势。 寻找sum[i]=sum[j] 长度就是最大的j-i.
#include <iostream> //一定要让计算数据变化
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
char str[maxn];
int p[maxn];
int main()
{
//freopen("cin.txt","r",stdin);
while(~scanf("%s",str+1)){
int length=strlen(str+1);
int ans=0;
memset(p,0,sizeof(p));
map<int,int> mp; //默认0
for(int i=1;i<=length;i++){
if(str[i]=='1') p[i]=p[i-1]+1;
else p[i]=p[i-1]-1;
if(mp[p[i]]==0&&p[i]!=0)mp[p[i]]=i;
if(i!=1){
ans=max(ans,i-mp[p[i]]);
//cout<<i<<" "<<p[i]<<" "<<mp[p[i]]<<endl;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
学习了别人的代码（来自“姿态决定命运”）：加长数组的宽度，和上面的哈希思想类似。可以看出不用STL确实快了好多。400ms VS 31ms
#define LEN 1000001
int v[LEN*2];
char s[LEN];
int main()
{
int len,dis=0,ret=0;
scanf("%s",s);
len=strlen(s);
memset(v,-1,sizeof(v));
for(int i=0;i<len;i++)
{
if(s[i]=='1')
dis++;
else
dis--;
if(v[dis+LEN]==-1&&dis!=0)
{
v[dis+LEN]=i;
}
else
{
if(ret<i-v[dis+LEN])
ret=i-v[dis+LEN];
}
}
printf("%d\n",ret);
}
51nod 1417 天堂里的游戏（博弈&数学推导）
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1417
······
正当Noder惊魂未定的时候，走来一个美女，要求和他一起玩个数学游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你A元，如果我们都是反面，我给你B元（A + B为偶数）。剩下的情况你给我（A + B） / 2元就可以了。
Noder知道这个游戏他多半要输，可他并不在乎，他只想让自己输的慢一点。
那么你来帮美女计算一下，她选择出正面的概率应该是多少（以最简分数形式输出）？
当Noder输光了钱后从草地上醒来，吉普赛姑娘已经不见了，只留下了这样一张塔罗牌，上面印有那个美女的照片。
关于样例的解释：
美 女采取了(3/8,5/8)这个方案，不论Noder采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任 何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是-1/8元。
Input
第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量（1 <= T <= 20)。
第2 - T + 1行：每行2个数A, B中间用空格分隔。(1 <= A, B <= 10^9，且A + B为偶数)。
Output
输出共T行，对应美女选择正面的概率，以最简分数形式输出，具体请参看输出样例。
Input示例
2
3 1
1 3
Output示例
3/8
5/8
依据样例分析，全部选定正面和反面的结果应该是一样的，最后一定是女性胜利。那么设女性选择正面的概率是x，正面的A元-->a，反面的B元-->b，
有这样的等式：
import java.util.*;
public class Main {
static long gcd(long a,long b){
return b>0?gcd(b,a%b):a;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner (System.in);
long t=sc.nextInt(),a,b;
for(int k=0;k<t;k++){
a=sc.nextInt();
b=sc.nextInt();
long q1=a+3*b;
long q2=4*(a+b);
long r=gcd(q1,q2);
//System.out.println(q1+" "+q2+" "+r);
q1=q1/r;
q2=q2/r;
System.out.println(q1+"/"+q2);
}
}
}
51nod 1433 0和5（整除的规律）
题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1433
小K手中有n张牌，每张牌上有一个一位数的数，这个字数不是0就是5。小K从这些牌在抽出任意张（不能抽0张），排成一行这样就组成了一个数。使得这个数尽可能大，而且可以被90整除。
注意：
1.这个数没有前导0，
2.小K不需要使用所有的牌。
Input
每个测试数据输入共2行。
第一行给出一个n，表示n张牌。(1<=n<=1000)
第二行给出n个整数a[0],a[1],a[2],…,a[n-1] (a[i]是0或5 ) 表示牌上的数字。
Output
共一行，表示由所给牌组成的可以被90整除的最大的数，如果没有答案则输出”-1”（没有引号）
Input示例
4
5 0 5 0
Output示例
0
import java.util.*;
public class Main {
static int min(int a,int b){ return a<b?a:b; }
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner (System.in);
int n,a,five,zero;
while(sc.hasNext()){
n=sc.nextInt();
five=0;
for(int i=0;i<n;i++){
a=sc.nextInt();
if(a==5) five++;
}
zero=n-five;
int k=five/9;
k=min(k,zero);
if(k>0){
for(int i=0;i<k;i++){
for(int j=0;j<9;j++) System.out.printf("5");
}
//for(int i=0;i<k;i++)
for(int i=0;i<zero;i++) System.out.printf("0");
System.out.println();
}
else {
if(zero==0){ System.out.println(-1); continue; }
System.out.println(0);
}
}
}
}