五大常用算法 之 分治法

一、基本概念

   在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法思想。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)等。

   任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

二、基本思想及策略

   分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

   分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解决这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

   如果原问题可分割成k个子问题，1<k<=n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的 子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

三、分治法适用的情况

   分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

   1)、该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

   2)、该问题可以分解为若干个规模较小的相同形式的问题，即该问题具有最优子结构性质；

   3)、利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

   4)、该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

   第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

   第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；

   第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法；

   第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

四、分治法的基本步骤

   分治法在每一层递归上都有三个步骤：

   Step1—分解：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题；

   Step2—解决：若子问题规模较小且容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

   Step3—合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

   它的一般的算法设计模式如下：

Divide-and-Conquer(P):

    if |P|≤n0

   then return BASE(P)

   将P分解为较小的子问题P1 ,P2 ,...,Pk

   for i = 1 to k

   do yi = Divide-and-Conquer(Pi) //递归解决Pi

   T = MERGE(y1,y2,...,yk) //合并子问题

   return T

   其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。BASE(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时，直接用算法BASE(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

五、分治法的复杂性分析

   一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题分而解之。设分解阀值n0=1，且BASE解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用MERGE将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

   T(n) = k*T(n/m) + f(n)

   通过迭代法求得方程的解：

   递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

六、可使用分治法求解的一些经典问题

（1）二分搜索

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔

七、依据分治法设计程序时的思维过程

   实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

   1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法；

   2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法；

   3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

八、举例说明——汉诺塔问题（递归解决）

1、问题描述：

   问题的历史渊源：汉诺塔问题来自一个古老的传说：在世界刚被创建的时候有一座钻石宝塔（塔A），其上有64个金碟。所有碟子按从大到小的次序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外两个钻石宝塔（塔B和塔C）。从世界创始之日起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔A上的碟子移动到塔C上去，其间借助于塔B的帮助。每次只能移动一个碟子，任何时候都不能把一个碟子放在比它小的碟子上面。当牧师们完成任务时，世界末日也就到了。

   问题提出：有三个塔(分别为A号，B号和C号)。开始时，有n个圆形盘以从上到下、从小到大的次序堆叠在A塔上。现要将A塔上的所有圆形盘，借助B塔，全部移动到C塔上，且仍按照原来的次序堆叠。

   移动的规则：这些圆形盘只能在3个塔间进行移动。一次只能移动一个盘子，且任何时候都不允许将较大的盘子压在比它小的盘子的上面。

2、问题分析：

   现在，我们具体讨论一下汉诺塔问题的解法：

   对于A塔上有n个圆形盘，要将n个圆形盘移动至C塔，则应先将n-1个圆形盘（从上到下，从小到大）移动到B塔，然后将A塔的第n个圆形盘移动至C塔。

   然后，下面的步骤就是将B塔的n-1个圆形盘移动至C塔的过程，其具体过程同上一步相似，先将n-2个圆形盘移动至A塔，然后再将B塔的第n-1个圆形盘移动至A塔。

   依次递归类推，直到最后只有一个圆形盘时截止。

   首先，我们设置移动函数Move(int disc, char srcT, char dstT);

   此函数声明的意义是：将disc盘从srcT塔移动至dstT塔，并打印移动信息。

   现在，我们设置函数Hanno(int N, char A, char B, char C);

   此函数声明的意义是：借助于B塔，将N个圆形盘从A塔移动至C塔。

   那么该函数所实现的步骤是：

   如果N == 1：

   ====>>>

   直接将N个圆形盘从A塔移动至C塔；

   如果N != 1：

   ====>>>

   （1）、首先，借助于C塔，将N-1个圆形盘由A塔移动至B塔，此处简化为函数即为Hanno(N-1, A, C, B)；

   （2）、然后，将A塔的第N个圆形盘移动至C塔，此处简化为函数即为Move(N,A,C)；

   （3）、最后，借助A塔，将N-1个圆形盘由B塔移动至C塔，此处简化为函数即为Hanno(N-1,B,A,C)。

3、移动次数计算：

   首先，设Count(n)为移动n个圆形盘所需的步数：

   则有：

   Count(1) = 1;

   Count(n) = Count(n-1)*2 + 1;

   即：Count(n) = 2^n -1;

4、代码实现：

#include <stdio.h>

void Move(int n, char srcT, char dstT);

void Hanno(int N, char A, char B, char C);

int main(){
	int n;
	char t_first,t_second,t_third;
	t_first = 'A';
	t_second = 'B';
	t_third = 'C';
	printf("Please input the number of round-disc:\n");
	scanf("%d",&n); 
	printf("The movement steps:\n");
	Hanno(n,t_first,t_second,t_third);
	
	return 0;
}

void Move(int n, char srcT, char dstT)
{
//	printf("Move disc %d from tower %c to tower %c !\n", n, srcT, dstT);
	printf("%c-->%c\n",srcT,dstT); 
}

void Hanno(int N, char A, char B, char C)
{
	if(N == 1)
		Move(1,A,C);
	else
	{		
		Hanno(N-1,A,C,B);
		Move(N,A,C);
		Hanno(N-1,B,A,C);
	}
}

   当n=4时，所得到的结果为：

Please input the number of round-disc:
4
The movement steps:
A-->B
A-->C
B-->C
A-->B
C-->A
C-->B
A-->B
A-->C
B-->C
B-->A
C-->A
B-->C
A-->B
A-->C
B-->C