统计学习方法 李航---第1章 统计学习方法概论

第一章 统计学习方法概论

 

统计学习的主要特点是:

(1)统计学习以计算机及网络为平台，是建立在计 算机及网络之上的;

(2)统计学习以数据为研究对象，是数据驱动的学科；

(3)统 计学习的目的是对数据进行预测与分析；

(4)统计学习以方法为中心，统计学习 方法构建模型并应用模型进行预测与分析;

(5)统计学习是概率论、统计学、信 息论、计算理论、最优化理论及计算机科学等多个领域的交叉学科，并且在发展 中逐步形成独自的理论体系与方法论.

统计学习的对象是数据Cdata)

统计学习的目的是对数据进行预铡与分析，特别是对未知新数据进行预测与分 析.

 

 

分类:

监督学习((supervised leaning)

无监督学习(unsupervised leaning)

半监 督学习(semi-supervised leaning)

增强式学习(reinfoucement leaning)

 

统计学习方法的三要素：简称 为模型(model),策略(strategy)和算法(algoxitinm).

实现统计学习方法的步骤如下

(1) 得到一个有限的训练数据集合;

(2) 确定包含所有可能的模型的假设空间，即学习模型的集合;

(3) 确定模型选择的准则，即学习的策略;

(4) 实现求解最优模型的算法，即学习的算法;

(5) 通过学习方法选择最优模型;

(6) 利用学习的最优模型对新数据进行预测或分析.

监督学习((supervised leaning)

输入实例x的特征向量记作

训练集：

输入变量与输 出变量均为连续变量的预测问题称为回归问题；

输出变量为有限个离散变量的预 测问题称为分类问题；

输入变量与输出变量均为变量序列的预侧问题称为标注 问题.

监督学习假设输入与输出的随机变量X和Y遵循联合概率分布 P (X,Y)。 监督学习问题的模型如图：

 

学习系统利用给定的训练数据集，通过学习(或训练)得到 一个模型，表示为条件概率分布P^(Y|X)或决策函数Y=f^(X).条件概率分布 P^(Y|X) 或决策函数 Y=f^(X) 描述输入与输出随机变量之间的映射关系.

统计学习三要素

方法 = 模型+策略+算法

模型：

在监督学习过程中，模型就 是所要学习的条件概率分布或决策函数。 模型的假设空间(hypothesis space)包 含所有可能的条件概率分布或决策函数。

假设空间可以定义为决策函数或 条件概率 的集合，由 参数向量决定的函数族:

      

策略

损失函数:  用一个损失函数(loss function)或代价函数(cost function)来度量 预测错误的程度。损失函数是   f (X)和Y的非负实值函数，记作L(Y, f (X)) .常用损失函数：

 

       (1) 0-1损失函数( 0-1 loss function )

    (2)平方损失函数  (quadratic loss function)

    (3)绝对损失函数  (absolute loss function)

      (4)对数损失函数 (logarithmic loss function)或对数似然损失函数 (log likehood loss function )

损失函数的期望是

这是理论上模型 f (X)关于联合分布P(X,Y)的平均意义下的损失，称为风险函数 (risk function)或期望损失(expected loss)。 学习的日标就是选择期望风险最小的模型。但 不知道联合概率分布。

模型f(x)关于训练数据集的平均损失称为经验风险(empirical risk)或经验损失 (empirical loss):

    期望风险R _exp(f)是模型关于联合分布的期望损失，经验风险 R _emp (f) 是模型 关于训练样本集的平均损失。根据大数定律，当样本容量N趋于无穷时，经验风 险趋于期望风险。所以一个很自然的想法是用经验风险估计期望 风险。但是，由于现实中训练样本数目有限，甚至很小，所以用经验风险估计期 望风险常常并不理想，要对经验风险进行一定的矫正.这就关系到监督学习的两 个基本策略:经验风险最小化和结构风险最小化.

 

经验风险最小化(empirical risk minimization,  ERM)，即求解最优化问题：

当样本容量足够大时，经验风险最小化能保证有很好的学习效果。例： 极大似然估计(maximum likelihood estimation)。 但是，当样本容量很小时，经验风险最小化学习的效果就未必很好，会产 “过拟合(over-fitting)"现象.

 

结构风险最小化(structural risk minimization, SRM)是为了防止过拟合， 在经验风 险上加上表示模型复杂度的正则化项(regulatizer)或罚项(penalty term )， 定义是：

 

其中 J (f)为模型的复杂度，是定义在假设空间下上的泛函。结 构风险小需要经验风险与模型复杂度同时小。 例 贝叶斯估计中的最大后验概率估计(maximum posterior probability ，MAP )。

结构风险最小化策略为：

算法:学习模型的具体计算方法。 统计学习问题归结为最优化问题，统计学习的算法成为求解最优化问

题的算法。

模型评估与模型选择

训练误差与测试误差

假设学习到的模型是Y=f^{^}(X)，训练误差是模型Y关于训练数据集 的平均损失:

测试误差是模型Y关于测试数据集的平均损失:

例如，当损失函数是0-1损失时，测试误差就变成了常见的测试数据集上的 误差率(eaor rate)

相应地，常见的测试数据集上的准确率(accuracy)为

过拟合与模型选择

 

过拟合(over-fitting)：如果一味追求提高对训练数据的预侧能力，所选模型的复杂度则往往会比真 模型更高。这种现象称为过拟合(over-fitting)。过拟合是指学习时选择的模型所 包含的参数过多，以致于出现这一模型对己知数据预测得很好，但对未知数据预 测得很差的现象。

例：多项式拟合问题：

 

在多项式函数拟合中可以看到，随着多项式次数(模型复杂度)的增加，训 练误差会减小，直至趋向于0，但是测试误差却不如此，它会随着多项式次数(模 型复杂度)的增加先减小而后增大。 要防止过拟合，进行最优的模型选择，即选择复杂度适当的模型，以达到使测试误 差最小的学习目的。

模型选择方法:正则化与交叉验证

正则化是结构风险最小化策 略的实现：

交叉验证：重复地使用数据，把给定的数据进行切分，将 切分的数据集组合为训练集与测试集，在此基础上反复地进行训练、测试以及模 型选择.

 

• 简单交叉验证 
  首先随机地将己给数据分为两部分，一部分作为训练集，另一部分作为测试集；然后用训练集在各种条件下(例如，不同的参数个数)训练模型，从而得到不同的模型；在测试集上评价各个模型的测试误差，选出测试误差最小的模型.
• S折交叉脸证(S-fold cross validation）
  方法如下:首先随机地将已给数据切分为S个互不相交的大小相同的子集；然后利用S-1个子集的数据训练模型，利用余下的子集测试模型；将这一过程对可能的S种选择重复进行；最后选出S次评测中平均侧试误差最小的模型.
• 留一文叉验证 (leave-one-out cross validation)
  S折交叉验证的特殊情形是S=N，N是给定数据集的容量

泛化能力

学习方法的泛化能力(generalization ability)是指由该方法学习到的模型对 未知数据的预测能力，是学习方法本质上重要的性质。

如果学到的模型是 f ^{^} (X) ，那么用这个模型对未知数 据预测的误差即为泛化误差( generalization error)：

事实上，泛化误差就是 所学习到的模型的期望风险.

泛化误差上界 (generalizarion error bound)。具体来说，就是通过比较两种学习方 法的泛化误差上界的大小来比较它们的优劣。泛化误差上界通常具有以下性质:它 是样本容量的函数，当样本容量增加时，泛化上界趋于0；它是假设空间容量 (capacity)的函数，假设空间容量越大，模型就越难学，泛化误差上界就越大。

 

    下面给出一个简单的泛化误差上界的例子, 二类分类问题的泛化误差上界，

f _N的泛化能力：

生成模型与判别模型

监督学习方法又可以分为生成方法(generative approach)和判别方法 (discriminative approach).所学到的模型分别称为生成模型(geuemtive model) 和判别模型(discriminative model).

生成方法由数据学习联合概率分布P(X,Y),然后求出条件概率分布P(YIX) 作为预测的模型，即生成模型

这样的方法之所以称为生成方法，是因为模型表示了给定输入X产生输出Y的生 成关系.典型的生成模型有:朴素贝叶斯法和隐马尔可夫模型。

 

判别方法由数据直接学习决策函数f(X)或者条件概率分布P(Y|X)作为预 测的模型，即判别模型.判别方法关心的是对给定的输入X，应该预测什么样的输 出Y.典型的判别模型包括k近邻法、感知机、决策树、逻辑斯谛回归模型、最 大嫡模型、支持向量机、提升方法和条件随机场等。

生成方法的特点：生成方法可以还原出联合概率分布 P(X,Y) ，而判别方法 则不能；

生成方法的学习收敛速度更快，即当样本容量增加的时候，学到的模型 可以更快地收敛于真实模型；

当存在隐变量时，仍可以用生成方法学习，此时判 别方法就不能用。

判别方法的特点：直接学习的是条件概率P(Y|X)或决策函数 f(X) ，直接面对预测，往往学习的准确率更高；

由于直接学习 P(Y|X) 或 f(X) ，可 以对数据进行各种程度上的抽象、定义特征并使用特征，因此可以简化学习问题.

分类问题(classification)

分类问题包括学习和分类两个过程

分类准确率((accuracy)，其定义是:对于给定 的测试数据集，分类器正确分类的样本数与总样本数之比。也就是损失函数是0-1 损失时测试数据集上的准确率。

TP——将正类预测为正类数

FN——将正类预测为负类数;

FP——将负类预测为正类数:

TN——将负类预测为负类数.

精确率定义为  

召回率定义为  

F1值，是精确率和召回率的调和均值，  

应用：文本分类，垃圾邮件；银行贷款信用等

标注问题( tagging )

标注问题是分类问题的一 个推广，标注问题又是更复杂的结构预测( structure prediction)问题的简单形式。标

注问题的输入是一个观测序列，输出是一个标记序列或状态序列。标注问题的目 标在于学习一个模型，使它能够对观侧序列给出标记序列作为预测。注意，可能 的标记个数是有限的，但其组合所成的标记序列的个数是依序列长度呈指数级增 长的。

学习系统基于训练数据集构建一个模型，表示为条件概率分布

评价标注模型的指标与评价分类模型的指标一样， 标注常用的统计学习方法有隐马尔可夫模型、条件随机场。

应用：词性标注，信息抽取，等。例

回归问题(regression)

回归用于预测输入变量(自 变量)和输出变量(因变量)之间的关系，特别是当输入变量的值发生变化时，输

出变量的值随之发生的变化。回归模型正是表示从输入变量到输出变量之间映射 的函数。回归问题的学习等价于函数拟合：选择一条函数曲线使其很好地拟合已 知数据且很好地预侧未知数据。

回归问题按照输入变量的个数，分为一元回归和多元回归；按照输入变量和 输出变量之间关系的类型即模型的类型，分为线性回归和非线性回归。 回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以由 著名的最小二乘法(least squares)求解。

应用：股价预测等

 

分类问题： 输出变量为有限个离散变量，定性分析，例如预测 晴天、下雨等

回归问题： 输入变量和输出变量均为连续变量，定量，例如预测出气温多少度，价格是多少

标注问题：输入变量与输出变量均为变量序列；如上文中词性分析的例子

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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