[置顶] Floyd-Warshall算法+拓展详解+算法相关问题、

Floyd-Warshall算法+拓展详解

一、简单介绍一下Floyd算法

Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

优点：

1、多源点、是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。

2、拓展应用范围广、好理解、代码简洁。

缺点：
1、效率比较低，时间复杂度高，虽然有简单优化的方法，但是N^3的效率真的是优化不到哪里去。

二、算法描述

源自百度百科：

a)　初始化：D[u,v]=A[u,v]

b)　For k:=1 to n

For i:=1 to n

For j:=1 to n

If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then

D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];

c)　算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵

操作过程：

1，从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。

把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

代码实现：

for(int i=0;i<n;i++)
{
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        for(int k=0;k<n;k++)
        {
            map[j][k]=min(map[j][k],map[j][i]+map[i][k]);
        }
    }
}

三、算法拓展

floyd算法不仅仅规划于某一个领域的算法、学习floyd算法的核心不在于学习floyd的模板，而是学习该算法的核心思想、其实这个算法也比较容易理解，其实就是一句话，如果能够通过一个点i，改变从u到v的权值。那么我们也可以拓展它的应用，举一个很简单的例子，如果j认识i，并且i认识k，那么我们就可以通过i，使得j，k相识。我们也可以再举一个例子，如果j比i官大，i比k官大，那么j就比k官大。

floyd算法的应用拓展是一时两语说不完的，更多的拓展还是大家通过平时的积累，和对这个算法的理解来慢慢感悟。希望大家能够慢慢喜欢上这个算法。

四、对应训练

入门：（如果我的博客里边有题解，后边会跟有题解链接）

hdu 2066 一个人的旅行  http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50218877

hdu 2544 最短路

hdu 1874 畅通工程续

带有难度：

hrbust 哈理工oj 1802 map+floyd http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50510257

hdu 1869 六度分离http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50350678

hdu 3665 seaside http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50285421

拓展：

hdu 5326 work 一道并查集的题、floyd算法思维也可以解 http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50570864

hrbust 哈理工oj 1352 中间的球 http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50707987

hrbust 2025 确定大小 http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50725554