HDU 3364 - Lanterns (高斯消元 + 异或方程组)

题意

有N个灯笼，m个开关。每个开关可以控制一些灯笼。

现在给出灯笼的最后状态，求有几种方式可以达到。

思路

灯笼的最后状态就是开关的异或值。

比如灯笼为L，开关为K。

L1=L1∗K1xorL1∗K2xorL1∗K3...xorL1∗Km

这样就是一条方程组，以此类推。

那么我们就可以根据题目列出m条方程，然后消元一下，得到自由变量的数目。

因为自由变量，也就是自由的开关数。对于每个开关，不管开或者关都行。所以答案就是 1<<num

代码

#include <stack>
#include <cstdio>
#include <list>
#include <cassert>
#include <set>
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <functional>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <string>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define SZ(x) (int)x.size()
#define Lowbit(x) ((x) & (-x))
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
#define MS(arr, num) memset(arr, num, sizeof(arr))
#define PB push_back
#define X first
#define Y second
#define ROP freopen("input.txt", "r", stdin);
#define MID(a, b) (a + ((b - a) >> 1))
#define LC rt << 1, l, mid
#define RC rt << 1|1, mid + 1, r
#define LRT rt << 1
#define RRT rt << 1|1
const double PI = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
const int MAXN = 50 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int dir[][2] = { {-1, 0}, {0, -1}, { 1, 0 }, { 0, 1 } };
int cases = 0;
typedef pair<int, int> pii;

int A[MAXN][MAXN], M[MAXN][MAXN], n, m;
LL Gauss()
{
    //row是第几个灯, col是对应的开关. M[row][col] = 1, 说明row这个灯被col这个开关控制
    int row = 0, col = 0, i, j;
    for (; col < m; col++)  //row, col为正在检查的行列
    {
        for (i = row; i < n; i++)   //如果当前这个变量存在，跳出循环
            if (M[i][col]) break;
        if (i == n) continue;   //如果变量为0，继续下一个
        if (i != row)   //如果这个方程不在上一个有序的行下一行，交换这两行
            for (j = col; j <= m; j++) swap(M[i][j], M[row][j]);   
        for (i = row+1; i < n; i++)     //对之后的方程消元
            if (M[i][col])  //如果之后的一条方程里有这个变量，两条方程异或
                for (j = col; j <= m; j++) M[i][j] ^= M[row][j];
        row++;
    }
    for (i = row; i < n; i++)
        if (M[i][m]) return 0;  //如果出现矛盾方程，即|0 0 0 0|1|出现，返回0
    return 1ll << (m-row);      //不然就返回2^自由变量.因为每个自由变量都可以有两种选择
}

int main()
{
    //ROP;
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        MS(A, 0);
        printf("Case %d:\n", ++cases);
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            int k;
            scanf("%d", &k);
            for (int j = 0; j < k; j++)
            {
                int tmp;
                scanf("%d", &tmp);
                A[tmp-1][i] = 1;    //从0开始（我想到了小说
            }
        }
        int q;
        scanf("%d", &q);
        while (q--)
        {
            memcpy(M, A, sizeof A);
            for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &M[i][m]);
            printf("%I64d\n", Gauss());
        }
    }
    return 0;
}