機器學習基石(Machine Learning Foundations) 机器学习基石 作业三 课后习题解答
今天和大家分享coursera-NTU-機器學習基石(Machine Learning Foundations)-作业三的习题解答。笔者在做这些题目时遇到很多困难，当我在网上寻找答案时却找不到，而林老师又不提供答案，所以我就想把自己做题时对题目如何思考的写下来，为大家提供一些思路。当然，我对题目的理解不一定是正确的，如果各位博友发现错误请及时留言联系，谢谢！再次提醒：请不要以此博客作为通过考试的用途，还是更好学习、理解课程的途径！希望我的博客对您的学习有所帮助！
本文出处：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51103628
其他作业解析请看汇总贴：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085129
第三次作业林老师主要讲了四大块内容:
1.线性回归（Linear Regression）：线性回归方程 ，错误计算方法为square error，参数w计算方法，pseudo-inverse，线性回归实现步骤等
2.逻辑回归（Logistic Regression）:逻辑回归理论，错误计算方法cross entropy error，梯度下降法求最优解并推到逻辑回归的梯度下降公式
3.线性模型（Linear Model for Classification）:证明了线性回归和逻辑回归也能用于线性分类（VC bound）,随机梯度下降法（Stochstic），多类别分类OVA,OVO
4.非线性转化（Noliear Transformation）:介绍了如何把低维空间内的高次曲线化为高纬空间内的线性分类，并说明他的局限性（转换代价大）
1.第一题
（1）题意：在目标函数f上添加噪声epsilon，噪声强度为sigma^2，Ein的计算公式也已经给出。求给定sigma=0.1，d=8时，能使Ein大于0.008的最小样本数N
（2）分析：这是一道很普通的计算题，把值带入计算可以了
（3）答案：100
2.第二题
（1）题意：hat marix H的定义已经给出，求五项陈述哪些是正确的
（2）分析：老师在上课的时候说过H的作用是将y从N维空间投影到X召开得到的d+1维度空间上。（I-H）是指y与展开平面的垂直距离。对角线trace(I-H) = N-(d+1)
a.H是半正定的，正确，理由博主也不知道
b.H是可逆的，错误，博主个人觉得是错的
c.H的一些特征值可能大于1，错误。半正定矩阵的特征值小于等于1
d.个人觉得是正确的。trace(I-H)=N-(d+1)
e.正确。因为H的作用是把y投影到hat y，那么不管投影几次都是不变的
（3）答案：none of above
3.第三题
（1）题意：求下面哪个式子是题中式子的上限？
（2）分析：做出这六个Error的图如下所示
可以看到，只有第五个是他的上限
（3）答案：max(0,1-ywx) ^ 2
4.第四题
（1）题意：下列哪些不是对w到处可微的
（2）分析：很显然，max(0,-ywx)在0出不是可微的，左导数为-1，右导数为0
（3）答案：最后一项
（1）题意：利用随机梯度下降法计算下列错误函数，忽略个别不可微的点，下面哪个结果是PLA
（2）分析：
（3）答案： max(0,-ywx)
6.第六题
（1）题意：求E在（0，0）附近的梯度
（2）分析：很简单，分别求E对u，v的偏倒数，然后将（0，0）带入即可
（3）答案：（-2，0）
7.第七题
（1）题意：利用上面的梯度下降公式，从(0,0)开始迭代，步长为0.01，求迭代五次后的错误E
（2）分析：这个太简单了，随便用C或者MATLAB写个算法就可以了，博主这里就不再累述
（3）答案：2.825
8.第八题
（1）题意：这里讲的是二元泰勒展开
（2）分析：二元泰勒展开公式为http://wenku.baidu.com/link?url=TFtNo_C9OV4MqsshuXz6yfMnjf-2A4-94zMsSS5qYepqhniR2aL6UbN3yjsCrMdFPY4_Zt2andPoxV0GII3b3QjBom1Xdmb-8cZyUgv-A3S
带入计算即可。注意与各项的对应关系。
（3）答案：（1.5，4，-1，-2，0，3）
9.第九题
（1）题意：利用Hessian Matrix计算牛顿方向
（2）分析：Hessian Matrix见http://baike.baidu.com/link?url=zCgekuYg4ViCDXyjWlpQZPEfGXZoUGl7bP8lpe_N6ww7bSeLqyyIKdUORTVaBdjw9KBhIXJmCmL2s5ZDEIb2y_
Newton迭代见http://blog.csdn.net/luoleicn/article/details/6527049
（3）答案：第一项
10.第十题
（1）题意：利用牛顿迭代求迭代五次后E值
（2）分析：我们已经从第9题知道了牛顿方向，自己用MATLAB写一个简单的实现就可以了，这里就不再累述
（3）答案：2.361 (可以看到，牛顿迭代五次为2.361，梯度下降五次为2.825，说明牛顿迭代更快！)
11.第十一题
（1）题意：求能够被所有二次+一次曲线shatter的最小x的集合
（2）分析：
利用途中六条线可以轻松shatter
（3）答案：x1,x2,x3,x4,x5,x6
12.第十二题
（1）题意：利用上面的式子将d维度的X空间转换为Z空间，求转换后的d_vc
（2）分析：加入X有N个点，则每一个点利用[x = xn]都能转化为一个维度的z,那么转换后最终得到的Z空间的维度为N。我们要做的是在Z空间进行二元分类，由于我们以前课程t推导过，d为空间的感知机（perceptrons）的d_vc = d+1。那么Z空间得到的d_vc = N +1 。那么对于任意N个点都是可以被shatter的。故N取任意大，d_ve = N+1，任意大的N都是可以被shatter的，所以d_vc = 无穷
（3）答案：无穷
第十三题到第十五题的C++实现请看：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085094
16.第十六题
（1）题意：这道题说的是多元逻辑回归的代价函数推导。
（2）分析：这道题笔者也不太懂，然后在百度上查找资料，国内网站上好像没有太多写多元逻辑回归的文章。所以我在一个国外的网站上找到了相关资料，然而并没有看到推导过程。网址为：http://blog.datumbox.com/machine-learning-tutorial-the-multinomial-logistic-regression-softmax-regression/ 。他是根据吴恩达的那套理论做的，其中J(theta)就是我们这里所说的Ein。
（3）答案：第二项
17.第十七题
、
（1）题意：这道题的意思是我们从16中知道了Ein的计算方法，就他对wi的偏导数
（2）分析：求导即可
（3）答案：第四项
18. 第18-20题的C++实现请看：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085835
本文出处：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51103628
其他问题解答请看汇总贴：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085129