2014.11.22 差分约束学习笔记
同机房的fye,rivendile大神早就学了很久很久差分约束。。。本蒟蒻却颓了两晚noip2014。。。(orz fye神SD rank 8！！！）于是我觉得不能等了，于是。。。于是。。。
写了一天差分约束啊！！！11道题啊，手都疼了、、、
言归正传，先给出差分约束的定义
如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。 （摘自百度百科）
其实蛮好懂的。举个例子，若给出a-b<=k1,b-c<=k2;a-c<=k3；那么a-c的最大值是多少，很明显是把三元组转化为求c->a的最短路。反之亦反.
那么，我们可以将给出xj-xi<=k1(1<=i,j<=n)，求xn-x1的最大值，转化为求xn-x1的最短路
可以将给出xj-xi>=k1(1<=i,j<=n)，求xn-x1的最小值，转化为求xn-x1的最长路.
特别地，当给出 xj-xi<k1可以转成xj-xi<=ki-1，将 xj-xi>k1可以转成xj-xi>=k1+1,在类似地求出最长（短）路 。
最长（短）路可以用spfa求出，但貌似也可用bellman-ford。。。开始做题！！
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- codevs 1768 种树2&&3 裸的差分约束系统，但有隐藏条件0<=s[i]-s[i-1]<=a[i]或1 然后将<=a[i]转为>=-a[i] code：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int point[500001],next[2000001];
struct hp{
int v,w;
}e[2000001];
int queue[500001],n,m,head,tail,dis[500001],a[500001];
bool exist[500001];
int main()
{
int j,c,num,i,x,y,w,now;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
next[i]=point[x-1]; point[x-1]=i;
e[i].v=y; e[i].w=w;
}
num=m;
for (i=0;i<=n-1;++i)
{
num++; next[num]=point[i]; point[i]=num; e[num].v=i+1; e[num].w=0;
num++; next[num]=point[i+1]; point[i+1]=num; e[num].v=i; e[num].w=-a[i+1];
}
memset(dis,128,sizeof(dis));
memset(exist,false,sizeof(exist));
memset(queue,0,sizeof(queue)); head=0;tail=1; queue[tail]=0; exist[0]=true; dis[0]=0;
while (head!=tail)
{
head=head%30000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=e[j].v;
if (dis[c]<dis[now]+e[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+e[j].w;
if (!exist[c])
{
tail=tail%30000+1;
queue[tail]=c;
exist[c]=true;
}
}
j=next[j];
}
}
cout<<dis[n]<<endl;
}
一道裸的poj差分约束 3159 Candies,题意不再赘述，code：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct hp{
int v,w;
}a[150001];
int point[30001],n,m,next[150001],s[30001];
long long dis[30001];
bool exist[30001];
using namespace std;
int main()
{
int x,y,z,c,i,top,j,now;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
next[i]=point[x]; point[x]=i;
a[i].v=y; a[i].w=z;
}
memset(exist,false,sizeof(exist));
memset(dis,127,sizeof(dis));
memset(s,0,sizeof(s)); top=1; s[1]=1; exist[1]=true; dis[1]=0;
while (top>0)
{
now=s[top]; top--; j=point[now]; exist[now]=false;
while (j!=0)
{
c=a[j].v;
if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+a[j].w;
if (!exist[c])
{
top++;
s[top]=c;
exist[c]=true;
}
}
j=next[j];
}
}
printf("%lld\n",dis[n]);
} 两道类似于种树2、3的poj1716&&1201 intervals&&integer intervals 注意隐含条件与转化（
0<=s[i]-s[i-1]<=1）
code（intervals）：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int point[500001],next[2000001];
struct hp{
int v,w;
}e[2000001];
int queue[500001],n,m,head,tail,dis[500001],a[500001];
bool exist[500001];
int main()
{
int j,c,num,i,x,y,w,now,maxn,minn;
scanf("%d",&m); minn=2100000000; maxn=0;
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
maxn=max(maxn,y);
minn=min(minn,x);
next[i]=point[x-1]; point[x-1]=i;
e[i].v=y; e[i].w=w;
}
num=m;
for (i=minn-1;i<=maxn-1;++i)
{
num++; next[num]=point[i]; point[i]=num; e[num].v=i+1; e[num].w=0;
num++; next[num]=point[i+1]; point[i+1]=num; e[num].v=i; e[num].w=-1;
}
memset(dis,128,sizeof(dis));
memset(exist,false,sizeof(exist));
memset(queue,0,sizeof(queue)); head=0;tail=1; queue[tail]=minn-1; exist[minn-1]=true; dis[minn-1]=0;
while (head!=tail)
{
head=head%30000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=e[j].v;
if (dis[c]<dis[now]+e[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+e[j].w;
if (!exist[c])
{
tail=tail%30000+1;
queue[tail]=c;
exist[c]=true;
}
}
j=next[j];
}
}
cout<<dis[maxn]<<endl;
}poj 3169 Layout 其实很水，只不过出现了判断环，存储一个点进队次数 当其>n时，出现了正（负）环,注意隐含条件 code：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct hp{
int v,w;
}a[100000];
int queue[1001],num[1001],dis[1001],head,tail;
int point[1001],next[100001],maxn;
bool exist[1001];
int main()
{
bool ff=false;
int numx,n,mi,mj,i,j,now,c,x,y,z;
freopen("layout.in","r",stdin);
freopen("layout.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&n,&mi,&mj);
numx=0;
for (i=1;i<=mi;++i)
{
numx++;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
next[numx]=point[x]; point[x]=numx;
a[numx].v=y; a[numx].w=z;
}
for (i=1;i<=mj;++i)
{
numx++;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
next[numx]=point[y]; point[y]=numx;
a[numx].v=x; a[numx].w=-z;
}
for (i=2;i<=n;++i)
{
numx++;
next[numx]=point[i]; point[i]=numx;
a[numx].v=i-1; a[numx].w=0;
}
memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(exist,false,sizeof(exist));
memset(dis,127,sizeof(dis)); maxn=dis[0]; memset(num,0,sizeof(num));
head=0;tail=1; queue[tail]=1; exist[1]=true; num[1]++; dis[1]=0;
while (head!=tail)
{
head=head%1000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=a[j].v;
if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+a[j].w;
if (!exist[c])
{
tail=tail%1000+1;
queue[tail]=c;
num[c]++; exist[c]=true;
if (num[c]>n)
ff=true;
}
}
if (ff) break;
j=next[j];
}
}
if (ff) cout<<-1<<endl;
else
{
if (dis[n]>=maxn) cout<<-2<<endl;
else cout<<dis[n]<<endl;
}
fclose(stdin); fclose(stdout);
}
poj 1364 king,很水的一道差分约束,类似前缀和的处理,但有可能出现图不连通的情况,所以要作连通块次数遍spfa,如果出现环,则输出successful conspiracy,正常返回输出lamentable kingdom code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct hp{
int v,w;
}a[10001];
int queue[10001],head,tail,num[10001],dis[10001];
int point[10001],next[100001],n,m;
bool exist[10001],f[10001];
int main()
{
char kind[2]; bool ff;
int i,j,c,now,x,t,k;
scanf("%d",&n);
while (n!=0)
{
memset(a,0,sizeof(a)); memset(point,0,sizeof(point)); memset(next,0,sizeof(next));
scanf("%d",&m);
for (i=1;i<=m;++i)
{
cin>>x>>t>>kind>>k;
if (kind[0]=='g')
{
next[i]=point[x-1];
point[x-1]=i;
a[i].v=x+t; a[i].w=k+1;
}
if (kind[0]=='l')
{
next[i]=point[x+t];
point[x+t]=i;
a[i].v=x-1; a[i].w=1-k;
}
}
memset(f,false,sizeof(f)); ff=false;
for (i=1;i<=n;++i)
if (!f[i])
{
memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(num,0,sizeof(num));
memset(dis,128,sizeof(dis)); memset(exist,false,sizeof(exist));
head=0; tail=1; dis[i]=0; queue[tail]=i; num[i]++; exist[i]=true; f[i]=true;
while (head!=tail)
{
head=head%10000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=a[j].v;
if (dis[c]<dis[now]+a[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+a[j].w;
f[c]=true;
if (!exist[c])
{
exist[c]=true; num[c]++;
tail=tail%10000+1; queue[tail]=c;
if (num[c]>n)
{
ff=true;
break;
}
}
}
if (ff) break;
j=next[j];
}
if (ff) break;
}
if (ff) break;
}
if (ff) printf("successful conspiracy\n");
else printf("lamentable kingdom\n");
scanf("%d",&n);
}
}poj 2983 Is the Information Reliable
一道比较有难度的差分约束，首先，由于题目给出一种情况的是确切的距离，我们可以转化为k<=s[i]-s[j]<=k,进一步变号为{s[j]-s[i]>=-k,s[i]-s[j]>=k},另外一种只说明了某一点与另外一点有位置关系，对此可以转化为s[i]-s[j]>=0，最后跑一遍最长路即可 code:
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct hp{
int v,w;
}a[200001];
int queue[1001],head,tail,num[1001],dis[1001];
int point[1001],next[200001],n,m;
bool exist[1001],f[1001];
using namespace std;
int main()
{
int i,c,numx,now,j,ai,b; bool ff; char kind;
while (scanf("%d%d",&n,&m)==2)
{
numx=0; memset(point,0,sizeof(point)); memset(next,0,sizeof(next)); memset(a,0,sizeof(a));
for (i=1;i<=m;++i)
{
cin>>kind;
if (kind=='P')
{
scanf("%d%d%d",&ai,&b,&c);
numx++; next[numx]=point[b]; point[b]=numx; a[numx].v=ai; a[numx].w=c;
numx++; next[numx]=point[ai]; point[ai]=numx; a[numx].v=b; a[numx].w=-c;
}
if (kind=='V')
{
scanf("%d%d",&ai,&b);
numx++; next[numx]=point[b]; point[b]=numx; a[numx].v=ai; a[numx].w=1;
}
}
memset(f,false,sizeof(f)); ff=false;
for (i=1;i<=n;++i)
if (f[i]==false)
{
memset(num,0,sizeof(num)); memset(queue,0,sizeof(queue));
memset(exist,false,sizeof(exist)); memset(dis,128,sizeof(dis));
head=0; tail=1; dis[i]=0; exist[i]=true; queue[tail]=i; num[i]++; f[i]=true;
while (head!=tail)
{
head=head%1000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=a[j].v;
if (dis[c]<dis[now]+a[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+a[j].w;
f[c]=true;
if (!exist[c])
{
exist[c]=true;
tail=tail%1000+1;
queue[tail]=c;
num[c]++;
if (num[c]>n)
{
ff=true; break;
}
}
}
if (ff) break;
j=next[j];
}
if (ff) break;
}
if (ff) break;
}
if (ff) printf("Unreliable\n");
else printf("Reliable\n");
}
}COGS 月考统计 一道比较水的题，但题目要求求出最小值，却给出了s[i]-s[j]<=k的条件，因此需转化为s[j]-s[i]>=-k,另外图也可能不连通，可以加设超级源点0，使其与所有点连通，作为最底成绩0，跑一遍最长路即可。 code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct hp{
int v,w;
}a[50001];
int queue[10000],head,tail,dis[10000];
int point[10000],next[50001],n,m,num[10000];
bool exist[10000];
int main()
{
int i,x,y,z,j,c,now; bool ff=false;
freopen("ExamStat.in","r",stdin); freopen("ExamStat.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
next[i]=point[x]; point[x]=i;
a[i].v=y; a[i].w=-z;
}
for (i=1;i<=n;++i)
{
next[m+i]=point[0]; point[0]=m+i;
a[m+i].v=i; a[m+i].w=0;
}
memset(num,0,sizeof(num)); memset(dis,128,sizeof(dis));
memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(exist,false,sizeof(exist));
head=0; tail=1; queue[tail]=0; num[0]++; dis[0]=0; exist[0]=true;
while (head!=tail)
{
head=head%10000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=a[j].v;
if (dis[c]<dis[now]+a[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+a[j].w;
if (!exist[c])
{
num[c]++; exist[c]=true;
tail=tail%10000+1;
queue[tail]=c;
if (num[c]>n)
{
ff=true;
break;
}
}
}
j=next[j];
if (ff) break;
}
if (ff) break;
}
if (ff) printf("SOMEONE LAY!");
else
{
for (i=1;i<=n;++i)
printf("%d ",dis[i]);
printf("\n");
}
fclose(stdin); fclose(stdout);
}
以下两题需先循环起点，根据长度推出终点
COGS 01串题目较之前发生了变化，给出两个不相干的条件，a0<=s[i][0]-s[j][0]<=b0,a1<=s[i][1]-s[j][1]<=b1,但仔细观察可知，区间长度一定，可以将其全部转化为0的情况i-j+1-b1<=s[i][0]-s[j][0]<=i-j+1-a1,再就是隐含条件0<=s[i][0]-s[j][0]<=1,再都转化为<=，跑一遍最短路，输出每个点的1-(dis[i]-dis[i-1](零的个数))。。。code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct hp{
int v,w;
}a[10000];
int queue[1001],head,tail,num[1001],dis[1001];
int point[1001],next[10001],n,a0,b0,l0,a1,b1,l1;
bool exist[1001];
int main()
{
int i,nx=0,now,c,j; bool ff=false;
freopen("sequence.in","r",stdin); freopen("sequence.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&a0,&b0,&l0,&a1,&b1,&l1);
for (i=1;i<=n;++i)
{
nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i; a[nx].w=1;
nx++; next[nx]=point[i]; point[i]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=0;
}
for (i=1;i<=n-l0+1;++i)
{
nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i+l0-1; a[nx].w=b0;
nx++; next[nx]=point[i+l0-1]; point[i+l0-1]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=-a0;
}
for (i=1;i<=n-l1+1;++i)
{
nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i+l1-1; a[nx].w=l1-a1;
nx++; next[nx]=point[i+l1-1]; point[i+l1-1]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=b1-l1;
}
memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(dis,127,sizeof(dis));
memset(exist,false,sizeof(exist)); memset(num,0,sizeof(num)); ff=false;
head=0; tail=1; queue[tail]=0; dis[0]=0; exist[0]=true; num[0]++;
while (head!=tail)
{
head=head%1000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=a[j].v;
if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+a[j].w;
if (!exist[c])
{
exist[c]=true; tail=tail%1000+1;
queue[tail]=c; num[c]++;
if (num[c]>n)
{
ff=true;
break;
}
}
}
j=next[j];
if (ff) break;
}
if (ff) break;
}
if (ff) printf("-1\n");
else
{
for (i=1;i<=n;++i)
{
if (dis[i]-dis[i-1]==1)
printf("0");
else
printf("1");
}
printf("\n");
}
fclose(stdin); fclose(stdout);
}COGS 数列问题
基本同上一题，但给出的是s[i]-s[j]>0或s[i]-s[j]<0,所以转化为s[j]-s[i]<=-1或s[i]-s[j]<=-1,此题依旧可能不连通，连通块遍spfa。。。输出dis[i]-dis[i-1];
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct hp{
int v,w;
}a[2000];
int queue[101],head,tail,dis[101],num[101];
int point[101],next[2000],n,p,q;
bool exist[101],f[101];
int main()
{
int i,nx=0,now,j,c; bool ff=false;
freopen("topoa.in","r",stdin); freopen("topoa.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&n,&p,&q);
for (i=1;i<=n-p+1;++i)
{nx++; next[nx]=point[i+p-1]; point[i+p-1]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=-1;}
for (i=1;i<=n-q+1;++i)
{nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i+q-1; a[nx].w=-1;}
memset(f,0,sizeof(f));
for (i=0;i<=n;++i)
if (!f[i])
{
{
memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(num,0,sizeof(num));
memset(exist,false,sizeof(exist));
head=0; tail=1; queue[tail]=i; if (i!=0)dis[i]=dis[i-1]; else dis[i]=0; num[i]++; exist[i]=true; f[i]=true;
while (head!=tail)
{
head=head%100+1; now=queue[head]; exist[now]=false;
j=point[now];
while (j!=0)
{
c=a[j].v;
if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)
{
dis[c]=dis[now]+a[j].w;
f[c]=true;
if (!exist[c])
{
exist[c]=true; num[c]++; tail=tail%100+1;
queue[tail]=c;
if (num[c]>n)
{
ff=true; break;
}
}
}
j=next[j];
if (ff) break;
}
if (ff) break;
}
if (ff) break;
}
if (ff) printf("no\n");
else
{
for (i=1;i<=n;++i)
printf("%d ",dis[i]-dis[i-1]);
printf("\n");
}
fclose(stdin); fclose(stdout);
}--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lcomyn
2014.11.22&&23