博弈论习题分析
博弈论习题分析
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一：URAL1180.取石子游戏
1180.取石子游戏
两个Nikifor在玩一个好玩的游戏。
这里有一堆总数为n的石子。
两个Nikifor轮流从石子堆中取石子。
每一个人可以取任意2的非负整数次幂个石子。
取到最后一个石子的人获胜。
你现在写一个程序来判断谁会赢。
输入
一个整数n(n<=10^250)
输出
如果第一个取石子的Nikifor赢那么在第一行输出1，
同时在第二行输出，保证他赢的情况下第一次最少要取的石子数。
如果第二个Nikifor赢，则只输出2。
样例输入
8
样例输出
1
2
【分析】：
当n为三的倍数时，第一个Nikifor一定会输，否则当第一个Nikifor第一次取n mod 3 时一定会赢。
证明：对于n=0，n=1,n=2时，命题显然成立。现证明当对于任意的i(0<=i<=n-1)有命题成立，命题对于n也成立。
当n不是三的倍数时，由于n mod 3一定为2的非负整数次幂，所以当第一个Nikifor第一次取n mod 3 个石子时，一定可以时当前状态变为必败状态，因为对于任意的i(0<=i<=n-1)有命题成立。当n是三的倍数时，由于前面的必败状态m一定是3的倍数，而 n-m 一定含有质因数3，即n-m一定不是2的整数次幂，因此当前的n一定不能变为必败状态，因此，当前的状态为必败状态。
【代码】：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
char s[251];
scanf("%s",&s);
int i,sum=0;
for(i=0;i<strlen(s);i++)
sum+=(s[i]-48);//
if(sum%3==0)
printf("2");
else
printf("1\n%d",sum%3);
return 0;
}
二：URAL/1023Background
时间限制：2s内存限制：16MB
Background
Yekaterinburg获得了2032年夏季奥运会的举办权。由于允许俄罗斯(举办国)对竞赛项目进行一些小的修改。现打算修改“Button”这个新项目的规则。规则很简单，在2个对手前有一堆扣子（k个），2人轮流取走扣子，同一时间，某人能取走1至L个扣子。取走最后一个扣子的为胜者。作为奥运会项目，规则应该比通常玩的要难一点。先走者可以设定数K（就是总共有k个扣子），3<=K<=100 000 000.后走者可以设定数 L，2 ≤ L < K
Problem
现在要紧的问题是，请你写一个程序，帮助后走者做出抉择。换言之，当给出K后，你的程序能给出数L，使到后走者能获胜。例如， 如果只有3个扣子，后走者把L定为2，有必胜把握。事实上，如果先走者取了1个扣子，那么后走者可以取剩下的2个扣子，后走者胜。如果先走者取了2个扣子，那么后走者取1个，也是后走者胜。
Input
输入只包含一个整数K，扣子的总数。
Output
输出L。每次最多能取走的扣子总数，要求保证后走者必胜。假如有多个答案，输出最小的。如果不存在保证能必胜的L，则输出0。
Sample Input
3
Sample Output
2
Sample Input
908640443
Sample Output
908640442
【其他数据】：
10 ans：4
100 ans：3
17 ans：16
26 ans：12
200 ans：3
14 ans：6
【代码】：
#include<stdio.h>
int n,ans;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=3;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
ans=i-1;
break;
}
if(!ans)
if(n&1) ans=n-1;
else ans=n/2-1;
if(ans<2) ans=n-1;
printf("%d\n",ans);
return 0;
//0.953 108 KB
}
#include<stdio.h>
int main()
{
int i=3,a;
scanf("%d",&a);
while(a%i!=0)
i++;
printf("%d",i-1);
return 0;
}
//0.015 108 KB
【分析】：
这是一道经典的博弈的题目
首先我们想如果给定了k,l,那么怎么确定第一个人是不是必胜的，如果是的那他第一次应该取几个？显然是 k mod (l+1)个，如果 k mod (l+1)=0那么显然是必输的。我们这样看，第一个人第一次取走k mod (l+1)后，剩下的button是(l+1)的倍数，这时无论第二个人取几个（设他取i个），第一个下一次都可以取(l+1-i)个，使剩下的button也是(l+1)的倍数，这样第一个人一定能拿到最后一个。
所以如果k mod (l+1)=0
那么第一个人第一次只能取0个，显然是输的。枚举约数的话，我们从1到sqrt(k)枚举就可以了，但是按题意3<=(l+1),我们会忽略掉2这个约数（如果k是偶数），也同时会忽略掉 k div 2这个约数，最后要特殊判断一下。
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