用单调队列优化的题目 我要长高
我要长高
http://www.acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1685
Description
韩父有N个儿子，分别是韩一，韩二…韩N。由于韩家演技功底深厚，加上他们间的密切配合，演出获得了巨大成功，票房甚至高达2000万。舟子是名很有威望的公知，可是他表面上两袖清风实则内心阴暗，看到韩家红红火火，嫉妒心遂起，便发微薄调侃韩二们站成一列时身高参差不齐。由于舟子的影响力，随口一句便会造成韩家的巨大损失，具体亏损是这样计算的，韩一，韩二…韩N站成一排，损失即为C*（韩i与韩i+1的高度差（1<=i<N））之和，搞不好连女儿都赔了.韩父苦苦思索，决定给韩子们内增高（注意韩子们变矮是不科学的只能增高或什么也不做），增高1cm是很容易的，可是增高10cm花费就很大了，对任意韩i，增高Hcm的花费是H^2.请你帮助韩父让韩家损失最小。
Input
有若干组数据，一直处理到文件结束。 每组数据第一行为两个整数：韩子数量N(1<=N<=50000)和舟子系数C(1<=C<=100) 接下来N行分别是韩i的高度(1<=hi<=100)。
首先建立方程，很容易想到的是，dp[i][j]表示第 i 个儿子身高为 j 的最低花费。分析题目很容易知道，当前儿子的身高花费只由前一个儿子影响。因此，
dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + abs(j-k)*C + (x[i]-j)*(x[i]-j))；其中x[i]是第i个儿子原本的身高
我们分析一下复杂度。
首先有N个儿子，这需要一个循环。再者，每个儿子有0到100的身高，这也需要一维。再再者，0到100的每一个身高都可以有前一位儿子的身高0到100递推而来。
所以朴素算法的时间复杂度是O(n^3)。题目只给两秒，难以接受！
分析方程：
当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要高时，
dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + j*C-k*C + X); ( k<=j ) 其中 X=(x[i]-j)*(x[i]-j)。
当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要矮时，
dp[i][j]=min(dp[i-1][k] - j*C+k*C + X); ( k>=j )
对第一个个方程，我们令 f[i-1][k]=dp[i-1][k]-k*C, g[i][j]=j*C+X; 于是 dp[i][j] = min (f[i-1][k])+ g[i][j]。转化成这样的形式，我们就可以用单调队列进行优化了。
第二个方程同理。
接下来便是如何实现，实现起来有点技巧。具体见下
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define INF 0xfffffff
#define min(a,b) a<b?a:b
using namespace std;
int q[101],dp[2][101];
int main()
{
int n,c,x,nowf,head,tail,cur;
while(scanf("%d%d",&n,&c)!=EOF)
{
cur=0;//高度最大为100
//以第一个人的身高初始化
scanf("%d",&x);
for(int i=0; i<x; i++)
{
dp[cur][i]=INF;//标记不可能状态
}
for(int i=x; i<=100; i++)
{
dp[cur][i]=(i-x)*(i-x);
}
for(int i=1; i<n; i++)
{
scanf("%d",&x);
cur=1-cur;//现在cur指向后一个人
head=tail=0;
for(int j=0; j<=100; j++) //比前一个人高,前面已经存了0~j-1
{
nowf=dp[1-cur][j]-c*j;
while(head<tail&&nowf<q[tail-1])
{
tail--;
}
q[tail++]=nowf;
if(j<x)
{
dp[cur][j]=INF;
}
else
{
dp[cur][j]=q[head]+c*j+(x-j)*(x-j);
}
}
head=tail=0;
for(int j=100; j>=0; j--) //比前一个人矮,前面存了j+1~100
{
nowf=dp[1-cur][j]+c*j;
while(head<tail&&nowf<q[tail-1])
{
tail--;
}
q[tail++]=nowf;
if(j>=x)
{
dp[cur][j]=min(dp[cur][j],q[head]-c*j+(x-j)*(x-j));
}
}
}
int ans=INF;
for(int i=0; i<=100; i++)
{
ans=min(ans,dp[cur][i]);
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}