codeforces 446C C. DZY Loves Fibonacci Numbers(线段树+菲波那契数的性质)

题目链接：

codeforces 446C

题目大意：

给出一个数列，每次可以选取一个区间，按顺序加上第i个菲波那契数进行更新，也可以查询某一个区间的总和。

题目分析：

• 首先要做这个题必须了解菲波那契数的一些基本的性质
  
  • 首先我们是可以通过每个菲波那契数列的前两项 O(1) 的获得任意一项的数值和任意i项的前缀和。
  • 然后就是两个菲波那契数列相加之后依旧是一个菲波那契数列，只是前两项的值变化，分别变为了两个菲波那契数列前两项的和。
  • 利用这两个性质之后就是线段树很基本的操作了，用f1,f2懒操作当前要加的数列的前两项的值，sum记录当前区间的总和。
• 下面简单证明前面提到的两个性质：
  
  • 第一性质证明如下：
    首先我们可以预处理除前两项都为1的菲波那契数列的各项的值。然后我们可以通过 a⋅fib[n−1]+b⋅fib[n−2] 获得以a,b为前两项的第n项的值。因为我们可以先看a作为第一项，在要求的第n个数中出现了多少次?我们可以将第一项标记为1，第二项作为0，也就是a出现的次数，那么对于第i个数中存在a的个数,就等于fib[n-1]，因为在做递推的过程中a的数目比fib的数值相当于慢了一步，关于b的个数同理可证，那么公式成立。
    然后我们对于菲波那契数中某一项：
    
    {fib[n]=fib[n−1]+fib[n−2]fib[n−1]=fib[n−2]+fib[n−3]⇒fib[n]=fib[n−2]+⋯+fib[3]+2⋅fib[2]+fib[1]⇒∑i=1nfib[i]=fib[n+2]−fib[2]
    
    第二个性质其实很容易证明，两个菲波那契数列相加只不过是修改了前两项的值，故不再赘述，有了这两个性质，就很方便来维护菲波那契数列的一些的操作了。
    

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define MAX 300007

using namespace std;

typedef long long LL;

int n,m,a[MAX];
const LL mod = 1e9+9;
LL fib[MAX];

struct Tree
{
    int l,r;
    LL sum,f1,f2;
}tree[MAX<<2];

void push_up ( int u )
{
    tree[u].sum = tree[u<<1].sum + tree[u<<1|1].sum;
    tree[u].sum %= mod;
}

void build ( int u , int l , int r )
{
    tree[u].l = l;
    tree[u].r = r;
    tree[u].f1 = tree[u].f2 = 0;
    if ( l == r )
    {
        tree[u].sum = a[l];
        return;
    }
    int mid = l+r>>1;
    build ( u<<1 , l , mid );
    build ( u<<1|1 , mid+1 , r );
    push_up ( u );
}

void init ( )
{
    fib[1] = fib[2] = 1;
    for ( int i = 3 ; i < MAX ; i++ )
    {
        fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
        fib[i] %= mod;
    }
}

LL get ( LL a , LL b , int n )
{
    if ( n == 1 ) return a%mod;
    if ( n == 2 ) return b%mod;
    return (a*fib[n-2]%mod+b*fib[n-1]%mod)%mod;
}

LL sum ( LL a , LL b , int n )
{
    if ( n == 1 ) return a;
    if ( n == 2 ) return (a+b)%mod;
    return ((get ( a , b , n+2 )-b)%mod+mod)%mod;
}

void push_down ( int u )
{
    int f1 = tree[u].f1;
    int f2 = tree[u].f2;
    int l = tree[u].l;
    int r = tree[u].r;
    int ll = (l+r)/2-l+1;
    int rr = r-(l+r)/2;
    if ( f1 )
    {
        if ( l != r )
        {
            tree[u<<1].f1 += f1;
            tree[u<<1].f1 %= mod;
            tree[u<<1].f2 += f2;
            tree[u<<1].f2 %= mod;
            tree[u<<1].sum += sum ( f1 , f2 , ll );
            tree[u<<1].sum %= mod;
            int x = f1 , y = f2;
            f2 = get ( x , y , ll+2 );
            f1 = get ( x , y , ll+1 );
            tree[u<<1|1].f2 += f2;
            tree[u<<1|1].f2 %= mod;
            tree[u<<1|1].f1 += f1;
            tree[u<<1|1].f1 %= mod;
            tree[u<<1|1].sum += sum ( f1 , f2 , rr );
            tree[u<<1|1].sum %= mod;
        }
        tree[u].f1 = tree[u].f2 = 0;
    }
}

void update ( int u , int left , int right )
{
    int l = tree[u].l;
    int r = tree[u].r;
    int mid = l+r>>1;
    if ( left <= l && r <= right )
    {
        tree[u].f1 += fib[l-left+1];
        tree[u].f1 %= mod;
        tree[u].f2 += fib[l-left+2];
        tree[u].f2 %= mod;
        int f1 = fib[l-left+1], f2 = fib[l-left+2];
        tree[u].sum += sum ( f1 , f2 , r-l+1 );
        tree[u].sum %= mod;
        return;
    }
    push_down ( u);
    if ( left <= mid && right >= l )
        update ( u<<1 , left , right );
    if ( left <= r && right > mid )
        update ( u<<1|1 , left , right );
    push_up ( u );
}

LL query ( int u , int left , int right )
{
    int l = tree[u].l;
    int r = tree[u].r;
    int mid = l+r>>1;
    if ( left <= l && r <= right )
        return tree[u].sum;
    push_down ( u );
    LL ret = 0;
    if ( left <= mid && right >= l ) 
    {
        ret += query ( u<<1 , left , right );
        ret %= mod;
    }
    if ( left <= r && right > mid )
    {
        ret += query ( u<<1|1 , left , right );
        ret %= mod;
    }
    return ret;
}

int main ( )
{
    init ( );
    while ( ~scanf ( "%d%d" , &n , &m ) )
    {
        for ( int i = 1; i <= n ; i++ )
            scanf ( "%d" , &a[i] );
        build ( 1 , 1 , n );
        while ( m-- )
        {
            int x,l,r;
            scanf ( "%d%d%d" , &x , &l , &r );
            if ( x == 1 )
                update ( 1 , l , r );
            else
                printf ( "%lld\n" , query ( 1 , l , r ) );
        }
    }
}