poj 1845(快速幂+二分计算等比数列和+大数因子分解+因子和计算+模除溢出）

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Description

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

Sample Input

2 3

Sample Output

15

Hint

2^3 = 8.  
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.  
15 modulo 9901 is 15 (that should be output).  

Source

Romania OI 2002

题目非常好，考察的技巧很多。

1、同模余定理：

%运算对于加减乘法是随意的。可以随便打开括号。因此为了避免溢出，要经常做%运算。

2、等比数列求和：

1 + 2 + 2^2 + 2^3 ... + 2^n 计算的时候，不能用等比求和公式，因为 除法不满足同模余定理，在求余数的时候会有错误。因此使用一个小trick，用二分来解决（非常巧妙）：

    当n为偶数时： 1+2+...+2^n  =  (1 + 2 + ... + 2 ^ (n / 2)) * (1 + 2 ^ (n / 2 + 1)) - 2 ^ (n + 1)

    当n为奇数时： 1+2+...+2^n  =  (1 + 2 + ... + 2 ^ (n / 2)) * (1 + 2 ^ (n / 2 + 1))

3、大数因子分解：

    任意一个自然数都可以分解为素数次幂的乘积，而且 分解方式唯一。也就是说，分解方式与原自然数 是 一一对应的！

     比如300 可以分解为 2 * 2 * 3 * 5 * 5

     用数组表示就是：

        素数：         2   3   5

        对应个数： 2   1   2

     分解算法千万不要去打素数表，因为当输入非常大（比如这题的5000万），打素数表会直接超时，即使用筛法）

     直接去分解，就会自然形成素数序列（有点类似筛素数了，比如2被分解干净后，2的倍数就不会再被分解出来）

    cin >> a >> b;
    ll tmp = a;
    int num = 0;
    for (i = 2; tmp != 1 && i * i <= a; i++) { //这里是tmp != 1，终止条件是i*i <= a !!!因为所有因子中，最坏情况只能是有一个素因子大于sqrt(a)，因此最后特殊考虑一下即可。
        while (tmp % i == 0) {
            p[num] = i;    
            n[num] ++;
            tmp /= i;
        }
        if (p[num] != 0) num++;
    }
    if (tmp != 1) { //这里是tmp != 1!!!
        p[num] = tmp;
        n[num] = 1;
        num++;
    }

4、大数因子和：

     分解出上面的数组后，其实因子和就很容易求出来了：

     其实就是(1 + 2 + 2^2) * (1 + 3) * (1 + 5 + 5^2)    想想为什么？ 其实 原数的因子就是 在(1, 2, 4), (1, 3), (1, 5, 25)  这三个集合中各挑一个，然后相乘，就可以形成一个因子。

因此一共会有3 * 2 * 3种挑选方法，亦即3*2*3个因子。

     我刚开始思考的时候，是想用dp的方法计算这些因子中，各个余数的数量，然后求和。这么做显然会超时。 其实就是原来的 括号内先求和 ，再相乘。就等同于把括号打开后计算乘法后再相加。

5、快速幂算法：

    这个我不想多说了，这次居然又写错一次，还另外溢出WA了一次：

    

ll pow(ll a, ll b) {
    ll result = 1;
    while (b > 0) {
        if (b % 2 == 1) {
            result = result * a % mod;
        }
        b /= 2;
        a = a * a % mod; //这里要写对！！而且要加上mod
    }
    return result;
}

提交记录：

1、WA。因为没有考虑最后大于sqrt(n)的那 一个素因子。

2、WA。素因子分解的时候，循环条件应该是tmp != 1,而不是tmp != 0。因此这里只有可以整除的时候才会调用/， 所以不会除到0.

3、WA。每一次计算出来的result，都要去%mod，否则 可能溢出。

4、WA。快速幂中德a = a * a 一定要改为a = a * a % mod ，否则 会溢出。

5、WA。在计算cal中，减去的时pow(a, b+1),这里粗心了，写成了pow(a, b).

6、WA。为了保险， 最后结果如果为负数的时候，要先加上一个mod,再模除一下。

7、AC

代码：