[国家集训队2011]种树 解题报告

题目：

http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1862

A城市有一个巨大的圆形广场，为了绿化环境和净化空气，市政府决定沿圆形广场外圈种一圈树。园林部门得到指令后，初步规划出n个种树的位置，顺时针编号1到n。并且每个位置都有一个美观度Ai，如果在这里种树就可以得到这Ai的美观度。但由于A城市土壤肥力欠佳，两棵树决不能种在相邻的位置（i号位置和i+1号位置叫相邻位置。值得注意的是1号和n号也算相邻位置！）。
最终市政府给园林部门提供了m棵树苗并要求全部种上，请你帮忙设计种树方案使得美观度总和最大。如果无法将m棵树苗全部种上，给出无解信息。

分析：

首先考虑如果没有“相邻位置不能都种”这一限制会怎么样。这时就是一个裸的贪心——按照A[i]从大到小排序，然后取前M个。

那么加上限制以后会发生什么呢？

假设A[3]最大，那我们就试图去选A[3]。选中之后首先要去掉3，并且，A[2]和A[4]也都不能选了，所以将它们删掉——

但是慢着！这可能会导致问题。假设A[3]=20,A[2]=A[4]=19，那么同时选A[2],A[4]可能比选A[3]要优！在最后的方案中可能是A[2]+A[4]而非A[3]。这种情况要怎么解决呢？

可以发现一点：由于A[3]最大，所以在最后的方案中，不可能只选A[2],A[4]中的一个。

原因很简单：假设在最优方案中选了A[2]但未选A[4]，那可以简单地把A[2]换成A[3]，由于未选A[4]，所以这样不会产生任何矛盾，并且把A[2]换成A[3]后，总的美观度不会下降。

因此，我们先去掉2,3,4，然后加入一个新的“物品”，其权值为A[2]+A[4]-A[3]，代表同时选2,4，删去3.这样，在选了3之后再选这个新物品，功效就相当于刚才所说的，把A[3]换成A[2]+A[4]。

这个新物品应该放在哪里呢？它的含义是“选2,4”，所以很容易想到，应该把它放在1,5中间。

出于方便起见，不妨在删掉2,4后直接把A[3]改成A[2]+A[4]-A[3]，显然这个位置是正确的。

如此就将N个物品，需要选M个的问题转化成了在N-1个物品中选的问题。并且可以发现一个很好的性质：新的3所对应的仍然是“选中物品数+1”！（把选3换成了选2,4，即多选了一个物品）

也就是说，完全可以把新的3看做一个和1，5毫无区别的物品，现在我们只需要在1,3,5三个物品中选择M-1个！如此下去，直到选择M次，就可以得到答案。

因此描述一下算法：以A[i]为关键字建大根堆，用一个链表存放当前物品。

最初链表中元素是1~N，i的后继是i+1，前驱是i-1（当然，1的前驱是N，N的后继是1）。

执行M次操作，每一次操作都将堆顶元素k取出，ans+=A[k]。然后在链表中删除k的前驱pre和后继nxt，令A[k]=A[pre]+A[nxt]-A[k]，并更新堆。

这个算法运行的很好，但你可能感觉有点虚——为什么每次选A值最大的就正确呢？

可以发现，在上面的讨论中“选3”时，我们实际上做的是声明如下事实：

在最终答案中要么选了3，要么同时选了2,4.换句话说，要么选了3，要么在此基础上选了A[2]+A[4]-A[3]。

所以我们实际上是重写了这个问题，将其变成“N-2个物品中选M-1”个的形式，如此一直化归，直到最后变成“N-2(M-1)个物品中选1个”，这时答案就是显然的。

代码：

http://cojs.tk/cogs/submit/code.php?id=142677