4-研究对加速度计的标定

任何传感器都会有误差，有误差就需要进行标定，对于加速度的标定，幸运的是我们有重力加速度作为真实值去参考，只要我们在前期测得的数据能够接近这个值就OK了，然后开始数学建模。参考了一些文章，发现js200300953讲的最清楚，给了我很多启发，由于高等数学不是很扎实，有些地方不是很明白。博客文章如下地址：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_81f1e26801017aji.html  具体文章内容我也一并贴出来，别说我是抄袭！

1. 方案
   传感器总会有缺陷，测量的值有误差，所以要校正。要校正加速度计，最简单有效的办法就是利用重力了。以不同方向在静止状态测量加速度，然后把数据拟合到当地重力加速度，就完成对加速度计的标定了，直接无视Datasheet上的精度参数。
2. 采集数据
   采集数据就要用到上次做的“黑匣”了，测量到的部分数据如下。
   
   
   里面的0x55AA是帧开始符，表示一组测量数据的开始，紧接着就是3个double类型的值，小端格式，表示x,y,z方向的原始测量值。
   
3. 理论依据
   这次标定加速度计，最大的收获是——把困扰多年的“最小二乘法”弄懂了。
   设x‘,y’,z‘为实际加速度分量，G0为当地重力加速度值。理想情况下有下面的等式：
   
   
   
   但测量有误差，设测量值为[x,y,z]，则测量值和实际值可以用下面的公式拟合。拟合方式为线性拟合，其中a',b',c'是比例因子，d',e',f'为偏移因子。通过这条公式，可以把测量值“变成”实际值（下面称作“估计值”），标定加速度计的目标，就是确定[a',b',c',d',e',f']这六个参数（下面称作“参数”），使估计值更接近实际值。
   
   
   
   代入理想情况的等式，有：
   
   
   
   这分明是椭球嘛，展开得：
   
   
   
   为方便推导和运算，写成如下形式：
   
   
   比较以上两式，有：（注意要加上系数k）
   
   反过来有：
   
   
   现在已经在静止状态测量出一些数据，记作[xn,yn,zn]，表示第n组测量值，对应的实际值都是重力G0。为了衡量参数的合适程度，引入误差函数Δn，表示第n个估计值与实际值的偏差，如果硬要说出具体意义，就是：估计值和实际值的平方差的1/k倍。
   Δn是第n组数据的偏差，我们的目标是整体偏差最小，所以引入整体偏差指数I，等于全部数据的偏差的平方和（“最小二乘法”的“二乘”就是指平方）。
   再次强调，我们的目标是找出一组参数，使整体的估计值最接近实际值。换句话说，就是：已知[xn,yn,zn]，求使I最小的[a',b',c',d',e',f']。直接求[a',b',c',d',e',f']有困难，要利用[a,b,c,d,e,f,g]，不废话吗？这就是我们引入abc的原因啊。所以不用犹豫了，动用高数中的偏导吧，用I分别对[a,b,c,d,e,f,g]求偏导，然后通通都要是0，这是I最小的必要条件。于是得到下面7条方程，对于[a,b,c,d,e,f,g]，都是线性方程，组合起来就是一组7*7的齐次线性方程组。
   
   仔细观察上面的方程，很有规律。其实可以写成更简洁（传说中的数学的优雅啊）的形式。引入列向量v和pn，v为变量组，pn为系数组，单个偏差可以写成它们的点积。
   
   
   神奇的一刻到了，方程组可以用一条式表示！再经过一些变换（向量点积交换，证明不出，归纳出来的。），得到终极的矩阵形式。而且矩阵A相当利于程序实现，算法复杂度甚至是完美的“online”！
   
   
   
   
   
   呵呵，一不小心，把最小二乘法的一般形式推导出来了。
   至此，问题归结到线性方程组的求解，理论上已经没有任何障碍（那是当然的，都已经用了上百年了）。
   
4. 编写软件

   先梳理一下思路。现在有一个原始的RCD格式的数据，首先要提取出[xn,yn,zn]，然后用[xn,yn,zn]算出向量pn，再用pn转置自乘，累加成矩阵A，接着求以A为系数矩阵的齐次线性方程组，算出[a,b,c,d,e,f,g]，这样就可以得到最佳的[a',b',c',d',e',f']了。

   第一步需要了解RCD文件的结构，那是做黑匣的时候自己设计的，没问题；然后加加减减得到A，这个也不难；以前混ACM的时候，对着《线性代数》写过解线性方程组的库，解方程组小意思；最后再次加加减减，[a',b',c',d',e',f']就出来啦。关键代码如下：

   输入数据循环。
   
    
   
   累加生成矩阵。
   
   
    
   
   解方程，vp就是[a,b,c,d,e,f,g]啦。
   
   
    
   
   [a,b,c,d,e,f,g]转[a',b',c',d',e',f']。
   
   
    
   
   
5. 校验结果
   一共14339组数据，左边是原始采样值，中间是标定后的加速度，右边是估计值与实际值的误差。
   重力加速度取广州的9.7883m/s²，大多数误差在0.5%以下，结果还算满意。
   
    
   后来试过周期性忽略某些采样点，得出不同的参数，发现参数只有3～4位有效数字。