[国家集训队2011]happiness(吴确)…
题目：
![[国家集训队2011]happiness(吴确)解题报告](http://img.e-com-net.com/image/info5/9063cf5dd6c842acbf4025aa29a19746.gif "[国家集训队2011]happiness(吴确)解题报告")
红线代表割，左边是S集，右边是T集。
x学文，y学理。
http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1873
高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。
分析：
首先不用想，这肯定是个最小割……不妨将其解题过程记录下来，以作为一个典型的最小割模型题。
“最小割”求的是一个“最小”的值，而本题需要最大化喜悦值之和，所以很显然，在最小割中被割掉的边应该意味着“放弃该喜悦值”。也就是说，最小割是放弃掉的所有喜悦值。
首先，为了简单起见，我们不妨选取一对相邻点进行研究。不妨设是这样的：
其中S是源点，x,y是我们研究的两个点（也就是原问题中的两个学生），T是汇点。为了方便起见，没有画出边。
文中可能会用到一些符号：w(a,b)表示边(a,b)的容量，x选文的喜悦值为W_x文，x,y都选文的额外喜悦值是W_同文，以此类推。
最小割模型常用的一个手段是：每个点都需要在“在S集”和“在T集”两个事件中选一个。我们规定，“在S集”代表学文，“在T集”代表学理。
那么总的快乐值是：W_x文 + W_x理 + W_y文 + W_y理 + W_同文 + W_同理，割值就是从其中扣掉的快乐值。
下面考虑四种情况：
①x在S，y在S：
红线代表割，左边是S集，右边是T集。
割边容量之和：w(x,T) + w(y,T)
“放弃的快乐值”之和：W_x理 + W_y理 + W_同理 （两个人同时学文）
即：w(x,T) + w(y,T) = W_x理 + W_y理 + W_同理
②x在S，y在T：
x学文，y学理。
w(x,T) + w(S,y) + w(x,y) = W_x理 + W_y文 + W_同文 + W_同理
类似可以推出后两种情况：
③
x在T，y在S：w(S,x) + w(y,T) + w(y,x) = W_x文 + W_y理 + W_同文 + W_同理
④
x在T，y在T：w(S,x) + w(S,y) = W_x文 + W_y文 + W_同文
把四种情况写在一起：
①SS：
w(x,T) + w(y,T) = W_x理 + W_y理 + W_同理
②ST：
w(x,T) + w(S,y) + w(x,y) = W_x理 + W_y文 + W_同文 + W_同理
③TS：
w(S,x) + w(y,T) + w(y,x) = W_x文 + W_y理 + W_同文 + W_同理
④TT：
w(S,x) + w(S,y) = W_x文 + W_y文 + W_同文
然后，怎么设置这些边的容量呢？
我们看①，左边有两项，右边有三项。
秉承“对称”的思想，我们令：
w(x,T) = W_x理 + 0.5W_同理，
w(y,T) =
W_y理 + 0.5W_同理。
类似地，
w(S,x) = W_x文 + 0.5W_同文，
w(S,y) = W_y文 + 0.5W_同文。
然后我们检查②和③。以②为例，将w(x,T)和w(S,y)代入并化简：
w(x,y) = 0.5 ( W_同文 + W_同理 )
看上去还不错！同样地由③得：
w(y,x) = 0.5 ( W_同文 + W_同理 )
把x,y扩展至整张棋盘：
对于某个人(i,j)，设它对应的顶点是x。
连边(S,x)，容量为：W_x理 + 0.5 ( x和所有邻居的W_同理之和 )
连边(x,T)，容量为：W_x文 + 0.5 ( x和所有邻居的W_同文之和 )
对于某两个相邻的人x和y（y可能在x的上下左右），
连边(x,y)，容量为：0.5 ( W_同文 + W_同理 )
用所有的快乐值之和（其实就是输入的那六个矩阵的所有元素之和）减去最小割（即最大流）的值即为答案。这里有一点细节：实数容量的网络流不好求，可以把所有边的容量*2，最后输出答案时/2即可。
代码1：
http://cojs.tk/cogs/submit/code.php?id=143459
其实还有另外一种方法。
回到①的那种情况。我们将整张棋盘黑白染色，那么x,y中有且仅有一个是黑的。
不妨设x黑，那么令：
w(x,T) = W_x理 + W_同理
w(y,T) = W_y理
类似地，y一定为白色，令：
w(S,x) = W_x文
w(S,y) = W_y文 + W_同文
（把W_同文加在w(S,x)上其实也行，但这并不重要）
将其代入②，③：
w(x,y) = 0
w(y,x) = W_同文 + W_同理
类似，对于一般的棋盘：
某黑格x：
w(x,T) = W_x理 + ( x和所有邻居的W_同理之和 )
w(S,x) = W_x文
某白格y：
w(y,T) = W_y理
w(S,y) = W_y文 + ( y和所有邻居的W_同文之和 )
对于相邻的两人x,y，其中x黑y白：
w(x,y) = 0
w(y,x) = W_同文 + W_同理
代码2：
http://cojs.tk/cogs/submit/code.php?id=143449
还有一个代码，是上面所说把W_同文也加到w(S,x)上的。
代码3：
http://cojs.tk/cogs/submit/code.php?id=143460
测试结果是：2跑得最快，3和1差不多，都比较慢。这是因为，2对于每对邻居只建了一条边，而1,3都是建了两条。