【SDOI】【DP】【滚动数组】【bzoj1925】地精部落

1925: [Sdoi2010]地精部落

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Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

 
对于 20%的数据，满足 N≤10； 
对于 40%的数据，满足 N≤18； 
对于 70%的数据，满足 N≤550； 
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

Source

第一轮Day2

这个题真是神了。。。代码量和思维量是完全成反比的。。。

思路：比较复杂。首先抽象出模型，是求一个长度为n的抖动序列的方案数。令f[i][j]表示以j开头长度为i的，且开始是下降的方案数，答案就是乘2（考虑开始是上升的方案数），然后进行更深一步的思考：

<1>考虑开始的数是j-1，它的方案数就是f[i][j-1]。

<2>考虑开始的数是j，因为我们求的是开始下降，所以它的第二位一定要小于它，即j-1，但这样以j-1开始的序列就变成了上升的，所以要把它翻转过来，这样j-1就变成了(i-1)-(j-1)+1=i-j+1。

所以dp方程就是f[i][j]=f[i][j-1]+f[i][i-j+1] (1<=j<=i)，初始化时f[2][2]=1。需要用到滚动数组（重复利用的原则），不然就MLE了。

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,p,x,f[2][5001];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&p);
	f[0][2]=1;
	for (int i=3; i<=n+1; i++){
		x=i&1;
		for (int j=1; j<=i; j++)
			f[x][j]=(f[x][j-1]+f[!x][i-j+1])%p;
	}
	printf("%d\n",(f[x][n]*2)%p);
	return 0;
}