P1223麦森数解题报告

Name: 麦森数

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Author: goal00001111

Date: 15-12-08 08:18

Description:

题目描述：

描述 Description        

形如2^P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^P-1不一定也是素数。

到1998年底，人们已找到了 37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。

任务：从文件中输入P（1000<P<3100000），计算2^P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

输入格式 Input Format      

      文件中只包含一个整数P（1000<P<3100000）

输出格式 Output Format    

      第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。

第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）

不必验证2^P-1与P是否为素数。

样例输入 Sample Input      

1279

样例输出 Sample Output    

386

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000104079321946643990819252403273640855

38615262247266704805319112350403608059673360298012

23944173232418484242161395428100779138356624832346

49081399066056773207629241295093892203457731833496

61583550472959420547689811211693677147548478866962

50138443826029173234888531116082853841658502825560

46662248318909188018470682222031405210266984354887

32958028878050869736186900714720710555703168729087

 

题目分析：

第一问是很简单的，只需要求一个对数而已，数学原理：十进制正整数n的位数为int(log10(n))+1。所以2^P-1的位数int(log10(2)*p)+1 。

第二问的关键是高精度乘法和指数幂的运算，而且由于题目要求最后500位数字，所以在计算乘法的时候我们只要求计算乘数的低500位就好了。

指数幂的运算不能硬乘，而要采用分治算法，否则就超时了。分治递归算法求指数幂是非常经典的，其数学原理是a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)，其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)。

另外我们也可以创建一个栈，记录每次执行(n /= 2)前n的值是奇数还是偶数，然后根据上面的数学原理，模仿递归的思路，从n=1或n=0开始逆向计算a^n。

采用递归算法的时候，由于存储高精度整数数组的大小是预置MAX = 1000，所以在调用递归函数的时候要按引用传递参数，否则到了后面空间就不够分配了。

为了满足“每行输出50位”的条件，我把存储高精度整数数组的元素设置成5位数，这样输出的时候只需每行输出10个元素就行了。

 

说明：

算法思想：递归分治和高精度。

数据结构：结构数组。

时间复杂度：O(LEN*LEN*lonN)，其中LEN = 500 / WIDTH + 1;

空间复杂度：O(MAX);

程序语言：分别用c++和pascal实现。

附注：分别提供了递归和非递归算法求指数幂的子函数。

关于高精度整数的四则运算请参考拙作《高精度整数运算改进版》：

http://blog.csdn.net/goal00001111/archive/ 2008/12/15 /3522737.aspx

 

 

c++代码：

 

#include<iostream>

#include<math.h>

 

using namespace std;

 

const unsigned int MAX = 1000; //整型数组的最大长度

const long long WIDTHMAX = 100000;//整型数组val[MAX]的元素上限

const unsigned int WIDTH = 5; //输出整型数组val[MAX]的元素时的格式宽度，为方便输出，设成500的因数

 

typedef struct node

{

    long long val[MAX];//用来存储高精度整数

    unsigned int size; //整型数组的实际长度

} BigInt;

 

void PrintBigInt(BigInt a);

BigInt MulBigInt(const BigInt & a, const BigInt & b);

void PowBigInt(BigInt & c, unsigned int n);

 

int main()

{

    unsigned int p;

    cin >> p;

   

    cout << int(log10(2)*p) + 1 << endl;  //输出十进制高精度数2^P-1的位数

   

    BigInt a;

    PowBigInt(a, p);

    a.val[0] -= 1;

    PrintBigInt(a);

   

    system("pause");

       return 0;

}

/*

函数名称：PowBigInt

函数功能：递归高效算法求高精度整数幂，底数默认为2

输入参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组

          unsigned int n：  指数

输出参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组 

*/

void PowBigInt(BigInt & c, unsigned int n)

{

    if (n == 0 || n == 1)//指数为0，则幂等于1；指数为1，则幂等于底数2

    {

        c.size = 1;

        c.val[0] = n + 1;

        return ; 

    }

   

    PowBigInt(c, n/2); //递归求高精度整数幂

   

    c = MulBigInt(c, c); //a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)

    if (n % 2 == 1)     //其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)

    {

        BigInt b;

        b.size = 1;

        b.val[0] = 2; //底数默认为2

        c = MulBigInt(b, c);

    }

}

/**/

 

/*

函数名称：PowBigInt

函数功能：非递归高效算法求高精度整数幂，底数默认为2

输入参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组

          unsigned int n：  指数

输出参数：BigInt & c：存储高精度整数幂的整型数组 

*

void PowBigInt(BigInt & c, unsigned int n)

{

    int stack[MAX] = {0};

    int top = 0;

    while (n > 0) //利用一个栈来存储n的状态：奇数还是偶数

    {

        stack[top++] = n % 2;

        n /= 2;

    }

    BigInt b;

    b.size = 1;

    b.val[0] = 2; //底数默认为2

    c.size = 1;

    c.val[0] = 1;

    for (int i=top-1; i>=0; i--)

    {

        c = MulBigInt(c, c);  //a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)

        if (stack[i] == 1)   //其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)

            c = MulBigInt(b, c);

    }

}

/**/

/*

函数名称：PrintBigInt

函数功能：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字，每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0

输入参数：BigInt a：存储高精度整数幂的整型数组

输出参数：无

*/

void PrintBigInt(BigInt a)

{

    while (a.size*WIDTH < 500)//少则补足0

    {

        a.val[a.size++] = 0;

    }

    while (a.size*WIDTH > 500)//多则只取低500

    {

        a.size--;

    }

    for (int i=a.size-1; i>=0; i--)

    {

        if (a.val[i] < 10)

            cout << "0000";

        else if (a.val[i] < 100)

            cout << "000"; 

        else if (a.val[i] < 1000)

            cout << "00"; 

        else if (a.val[i] < 10000)

            cout << "0";      

        cout << a.val[i];

        if (i % 10 == 0) //每行输出10个元素

            cout << endl;

    }

}

/*

函数名称：MulBigInt

函数功能：高精度整数乘法

输入参数：const BigInt & a：用整型数组表示的高精度整数被乘数

          const BigInt & b：用整型数组表示的高精度整数乘数

输出参数：BigInt：返回用整型数组表示的高精度整数乘积

*/

BigInt MulBigInt(const BigInt & a, const BigInt & b)

{

    if (a.size == 1 && a.val[0] == 0)

        return a;

    if (b.size == 1 && b.val[0] == 0)

        return b;

   

    const int LEN = 500 / WIDTH + 1;//只需取低500位相乘就好了

    BigInt c;

    for (int i=0; i<MAX; i++) //全部赋初值为0

        c.val[i] = 0;

    for (int i=0, j=0; i<b.size && i<LEN; i++)

    {

        for (j=0; j<a.size && j<LEN; j++)

        {

            c.val[i+j] += a.val[j] * b.val[i];

            c.val[i+j+1] += c.val[i+j] / WIDTHMAX;

            c.val[i+j] %= WIDTHMAX;

        }

        c.size = i + j;

        if (c.val[c.size] != 0)//最高位有进位

            c.size++;

    }

    return c;

}

 

PASCAL代码：

 

PROGRAM EXAMBigInt(INPUT, OUTPUT);

CONST

    MAX = 1000; {整型数组的最大长度}

    WIDTHMAX = 100000; {整型数组val[MAX]的元素上限}

    WIDTH = 5; {输出整型数组val[MAX]的元素时的格式宽度，为方便输出，设成500的因数}

    MAXLENGTH = 500; {输出数字的位数}

TYPE

    BigInt = RECORD

        val  : array [1..MAX] of int64; {用来存储高精度整数}

        size : LongWord;  {整型数组的实际长度}

    end;

VAR

    a, b : BigInt;

    p : LongWord;

 

PROCEDURE PrintBigInt(a : BigInt);

    var

        i : LongWord;

    begin

        while (a.size*WIDTH) < MAXLENGTH do {少则补足0}

        begin

            inc(a.size);

            a.val[a.size] := 0;

        end; {while}

        while (a.size*WIDTH) > MAXLENGTH do {多则只取低500}

            dec(a.size);

 

        for i:=a.size downto 1 do

        begin

            if a.val[i] < 10 then

                write('0000')

            else if a.val[i] < 100 then

                write('000')

            else if a.val[i] < 1000 then

                write('00')

            else if a.val[i] < 10000 then

                write('0');

            write(a.val[i]);

            if (i mod 10) = 1 then

                writeln;

        end; {for}

     end; {PrintBigInt}

 

FUNCTION MulBigInt(a, b : BigInt): BigInt;

    const

        LEN = MAXLENGTH div WIDTH;

    var

        c : BigInt;

        i, j : LongWord;

    begin

        if (a.size = 1) and (a.val[1] = 0) then

            MulBigInt := a

        else if (b.size = 1) and (b.val[1] = 0) then

            MulBigInt := b

        else

        begin

            for i:=1 to MAX do {全部赋初值为0}

                c.val[i] := 0;

            i := 1;

            while (i <= b.size) and (i <= LEN) do

            begin

                j := 1;

                while (j <= a.size) and (j <= LEN) do

                begin

                    c.val[i+j-1] := c.val[i+j-1] + a.val[j] * b.val[i];

                    c.val[i+j] := c.val[i+j] + c.val[i+j-1] div WIDTHMAX;

                    c.val[i+j-1] := c.val[i+j-1] mod WIDTHMAX;

                    inc(j);

                end; {while}

                c.size := i + j - 1;

                if c.val[c.size] <> 0 then {最高位有进位}

                    inc(c.size);

                inc(i);

            end; {while}

            MulBigInt := c;

        end; {else}

    end; {MulBigInt}

 

{ }

PROCEDURE PowBigInt(var c : BigInt; n : LongWord);

    begin

        if (n = 0) or (n = 1) then {指数为0，则幂等于1；指数为1，则幂等于底数2}

        begin

            c.size := 1;

            c.val[1] := n + 1;

            exit;

        end; {if}

        PowBigInt(c, n div 2); {递归求高精度整数幂}

        c := MulBigInt(c, c); {a^n = a^(n/2)*a^(n/2)*f(a)}

        if (n mod 2) = 1 then {其中f(a) = 1(n%2==0)或f(a) = a(n%2==1)}

            c := MulBigInt(b, c);

    end; {PowBigInt}

{

 

PROCEDURE PowBigInt(var c : BigInt; n : LongWord);

    var

        stack : array[1..MAX] of integer;

        i, top : LongWord;

    begin

        top := 0;

        while n > 0 do

        begin

            inc(top);

            stack[top] := n mod 2;

            n := n div 2;

        end; {while}

        c.size := 1;

        c.val[1] := 1;

        for i:=top downto 1 do

        begin

            c := MulBigInt(c, c);

            if stack[i] = 1 then

                c := MulBigInt(c, b);

        end; {for}

    end; {PowBigInt}

}

BEGIN

    read(p);

    writeln(trunc(p * ln(2) / ln(10)) + 1); {输出十进制高精度数2^P-1的位数}

    b.size := 1;

    b.val[1] := 2;

    PowBigInt(a, p);

    dec(a.val[1]);

    PrintBigInt(a);

    writeln;

END.