HDU 5407 CRB and Candies (Kummer定理)

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5407

题意：

给定n，求C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的lcm(最小公倍数)对1e9+7取模的值。

分析：

C(n,k)中只包含不大于n的素因子，

对每个素因子p，需要找出这n个组合数中p的幂最大的，

由Kummer定理，

这相当于找一个k，使得在p进制下n-k发生借位的次数最多，

容易知道，在p进制下，

当n的某一位<p-1时，n的比这一位高的每一位都可以向下借位，

此时末尾是一串连续的p-1，

再用快速幂计算p对lcm的贡献即可，

需要先筛一遍不大于1e6的素数表，

总复杂度O(nloglogn+q*pi(n)*logn)，

其中pi(n)=O(n/logn)是素数计数函数，

那么总复杂度也就是O(nloglogn+qn)。

补充：

有关Kummer定理可以参考

ZOJ 3842 Cirno's Perfect Math Class (Kummer定理) - quailty's - 博客频道 - CSDN.NET

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll Mod=1000000007LL;
const int MAXN=1000005;
int cnt,p[80005];
bool np[MAXN];
void build()
{
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
        if(!np[i])
        {
            p[cnt++]=i;
            if(i<=1000)
                for(int j=i*i;j<=1000000;j+=i)np[j]=1;
        }
}
ll fp(ll a,ll k)
{
    ll res=1LL;
    while(k>0)
    {
        if(k&1)res=res*a%Mod;
        a=a*a%Mod;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int pp[25];
int get_pow(int n,int p)
{
    int loc=0;
    while(n>0)
    {
        pp[loc++]=n%p;
        n/=p;
    }
    int cnt=0,flag=0;
    for(int i=0;i<loc-1;i++)
    {
        if(pp[i]<p-1+flag)
        {
            cnt++;
            flag=1;
        }
    }
    return cnt;
}
int main()
{
    build();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        ll ans=1LL;
        for(int i=0;i<cnt && p[i]<=n;i++)
        {
            ans=ans*fp(p[i],get_pow(n,p[i]))%Mod;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}