正整数分割

正整数分割

定义

分割: 将一个正整数划分为几个数的和的不同表示方法的总数。

记号

记 P(x,y) 表示正整数x的所有划分中，极大值不大于y的划分的总数。
例如4的所有划分: 1+1+1+1，2+1+1，2+2， 3+1，4 一共,5个，其中 P(4,2)=2 。
记 S(x,y) 表示正整数x的所有划分中，极大值不大于y的划分的加和序列集合，并且加数按递减的顺序排列。
例如 S(4,2)={1+1+1+1，2+1+1，2+2}
记 Set(x,y) 表示正整数x的所有划分中，极大值恰好等于y的划分的加和序列集合，并且加数按递减的顺序排列。
例如 Set(4,2)={2+1+1，2+2}
记 {∀x...y} 表示 Set(x,y) 中的加和序列去掉第一个y之后剩下的加和序列。
例如 {∀4...2}={1+1，2}

分析

1. 当 y=x 时， P(x,y)=1+P(x,x−1)
2. 当 y>x 时， P(x,y)=P(x,x)
3. 当 y<x 时， P(x,y)=P(x,y−1)+P(x−y,y)
   证明：
   a). P(x,y−1) 表示x的划分中，极大值不大于y-1的所有划分的个数，所以 P(x,y)−P(x,y−1) 表示x的划分中，极大值恰好等于y的划分个数，也就是 Set(x,y) 的大小。所以我们需要证明 P(x−y,y)=|Set(x,y)|
   将x的划分中的各个值按递减的顺序排列，则x的划分中所有极大值恰好等于y的划分一定是形如 x=y+x...y 的形式，所以有 x−y=x...y ，这就说明了 x...y （ x...y 是一段按大小顺序排列好了的极大值不大于y的加和序列,他加上y之后的值等于x）一定在 S(x−y,y) 之中。这里所有的 x...y 构成的集合的大小就是 Set(x,y) 的大小(因为每一个 x...y 都是由 Set(x,y) 中的一个唯一的加和序列去掉第一个y得到)
   b). {∀x...y}=S(x−y,y) 。
   由a)可知 {∀x...y}⊆S(x−y,y) 。
   那么 S(x−y,y) 是不是要比 {∀x...y} 大呢？，答案是否定的。
   因为，如果 S(x−y,y) 比 {∀x...y} 要大，那么 S(x−y,y) 中必然存在一个 x−y 的划分的加和序列，姑且将这个划分的加和序列(加数按递减的顺序排列)记作 p 使得 p∉{∀x...y} ,
   然而由于 x−y=p⇒x=y+p , 所以 p∈{∀x...y} ,矛盾，故而 {∀x...y}=S(x−y,y) 。
   所以有 P(x−y,y)=|S(x−y,y)|=|{∀x...y}|=|Set(x,y)|
   从而得到当 y<x 时， P(x,y)=P(x,y−1)+P(x−y,y)

图示

< header >

#include<iostream>
using namespace std;

< partitions >

/* 将一个正整数划分为几个数的和的不同表示方法的总数。 记P(x,y)表示正整数x的所有划分中，极大值不大于y的划分的总数。 例如3的所有划分：1+1+1，2+1,3 一共3个，其中P(3,2)=1 */

int partitions(int const n);
int partitions(int const x, int const y)
{
    if (y == 1) return 1;
    if (x <= y) return  partitions(x);

    return partitions(x, y - 1) + partitions(x-y,y);
}

int partitions(int const n){

    if (n == 1) return 1;

    return 1 + partitions(n,n-1);

}

< main >

int main(){

    int n;
    cout << "输入想要划分的正整数n" << endl;
    cin >> n;

    cout << partitions(n) << endl;

    system("pause");
    return 0;
}