推荐系统笔记三、基于近邻的推荐系统（进阶篇）

一、概述：

基于近邻的推荐算法在推荐系统中占有重要的地位，是学术界的一个重点研究方向，在产业界也得到了广泛的应用。基于近邻的推荐算法大致可以分为user-based和item-based两类，关于近邻推荐算法的基础性介绍，请参见博文： “推荐系统笔记一、基于近邻的推荐系统（基础篇）”。由于user-based方法和item-based方法的相似性，本文主要讨论item-based方法上的一些技术，这些技术可以被直接套用到user-based方法上。本文主要介绍五种近邻模型。

二、符号定义：

• U：用户集合；I：item集合；
• R：评分集合， rui 表示用户 u∈U 对item i∈I 的评分；
• Ui ：已经给item i打分的用户集合； Iu ：已经被用户u打分的item集合；
• Iuv ： Iu∩Iv ，同时被用户u和用户v打过分的item集合； Uij ：同时对item i和j打过分的用户集合；
• wuv ：用户u和v之间的相似度； wij ：item i和j之间的相似度；

三、相似权值计算：

        两个用户或者item间的近邻关系是由他们之间的相似度来判断的，与一个用户（或item）相似度最大的k个用户（或item）称为他的k近邻。

        cosine相似度是其中一种常用的度量方法：

cos(i,j)=∑u∈Uijruiruj∑u∈Uir2ui∑v∈Ujr2vj−−−−−−−−−−−−−−−−√

即 Ui 和 Uj 的相似度。在前面符号定义小节已经提到过 Uij 表示同时对item i和item j打过分的用户集合。

        如果考虑均值和方差，则得到Pearson相关系数：

PearsonCorrelation(i,j)=∑u∈Uij(rui−r¯i)(ruj−r¯j)∑v∈Uij(rvi−r¯i)2∑k∈Uij(rkj−r¯j)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Pearson Correlation是 在集合 Uij 上计算的，其他的评分都忽略，所以在分母上和cosine有一个小小的区别。另外，由于Pearson Correlation 的分子分母都要除以标准差项，所以可以分子分母同时约去。

相似权值改进：

    在实际中，不同用户或者item的评分往往是带偏差的，例如A和B两个用户的偏好类似，但是A比较容易满足，倾向于给item打高分；而B倾向于给item打低分（Item 上也有类似的情况）。为了解决这个问题，需要为每个用户和item增加一个偏置项。在前面的式子中，用均值 r¯i 作为这个偏置项，也可以用学习的方法得到一个较好的偏置项：

minb∗∑(u,i)∈K(rui−μ−bu−bi)2+λ(∑ub2u+∑ib2i)

其中 μ 是整体评分偏置， bu 和 bi 是用户u和item i上额外的偏置。那么评分 rui 的偏置就等于：

bui=μ+bu+bi

    把这个偏置代入Pearson Correlation，得到：

PearsonCorrelation(i,j)=∑u∈Uij(rui−bui)(ruj−buj)∑v∈Uij(rvi−bvi)2∑k∈Uij(rkj−bkj)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

当使用Pearson Correlation方法时，如果item i和j只被一个用户同时评分过，并且恰好在这两个item上的评分相同，那么根据Pearson公式他们之间的相似度等于1，这显然不大合理。可以用以下方法对权值进行收缩：

sij=|Uij|−1|Uij|−1+β⋅PearsonCorrelation(i,j)

β 的值可以通过交叉验证选择（例如 β=100 ）。

四、相似度插值：

    Similarity-Based Interpolation：定义 Sk(i;u) 为用户u评分的item集合中和item i最相似的k个近邻。由用户对item的历史评分来预测评分：

r^ui=bui+∑j∈Sk(i;u)sij(ruj−buj)∑j∈Sk(i;u)sij

这可以看做一个插值函数， sij 是插值系数。这种方法主要有一下两个优点：

• 可解释性。通过用户对item的历史评分（喜好）推荐新的item。
• 实时性。一旦用户给出新的评分，item-based模型可以立即提供新的推荐，而不需要重新训练模型或计算参数（通常认为item间的相似度在短时间内是恒定的，只需每隔较长一段时间重新计算）。

五、联合派生插值权重：

    Jointly Derived Interpolation Weights：相似度插值方法直接使用item间的相似度作为插值权重（系数），忽略了近邻间的相互关系，为了更好的预测评分，需要重新学习插值权重 {θuij|j∈Sk(i;u)} 。

r^ui=bui+∑j∈Sk(i;u)θuij(ruj−buj)

插值权重通过求解一个最小二乘问题得到：

minθu∑v≠u{(rvi−bvi)−∑j∈Sk(i;u)θuij(rvj−bvj)}2

    如果写成 Aw=b 的形式，则：

Ajl=∑v≠u(rvj−bvj)(rvl−bvl)bj=∑v≠u(rvj−bvj)(rvi−bvi)

由于评分矩阵是稀疏的，很少有用户v对 Sk(i;u) 都进行了评分。可以同时用正则化和平滑的方式进行处理（结果会向avg收缩）：

A^jl=Ajl+β⋅avg|Ujl|+βb^j=bj+β⋅avg|Uij|+β

六、全局近邻模型：

    前面介绍的近邻模型都是局部的（k近邻），全局近邻模型吸取了矩阵分解模型的优点，从而可以得到更优的结果。这种模型可以使用隐式反馈，并且具有较好的实时性。重新定义预测函数：

r^ui=μ+bu+bi+|Rk(i;u)|−12∑j∈Rk(i;u){wij(ruj−buj)+cij}

     R(u) 是用户u的所有评分， cij 是用户u的隐式反馈，如租借、购买等。 Rk(i;u) 是item项的集合，这些item需要同时满足两个条件：一是用户u评过分；二是item i的k近邻。所以 Rk(i;u) 中item的个数通常是小于k的。需要学习的参数有： bu,bi,wij,cij ，同过梯度下降最优化下面这个目标函数来学习参数：

minb∗,w∗,c∗=∑(u,i){rui−μ−bu−bi−|Rk(i;u)|−12∑j∈Rk(i;u)(wij(ruj−buj)+cij)}2+λ{b2u+b2i+∑j∈Rk(i;u)(w2ij+c2ij)}2

七、因子分解近邻模型：

    可以对全局近邻模进行因子分解以减少时间和空间复杂度，提高准确率：

r^ui=μ+bu+bi+|Rk(i;u)|−12∑j∈Rk(i;u){wij(ruj−buj)+cij}=μ+bu+bi+|Rk(i;u)|−12∑j∈Rk(i;u){q⊤ixj(ruj−buj)+q⊤iyj}=μ+bu+bi+q⊤i|Rk(i;u)|−12∑j∈Rk(i;u){xj(ruj−buj)+yj}

可以发现最后的表示和SVD++很相似。

八、近邻模型添加时间信息：

    用户的偏好是随着时间不断发生变化的，\emph{如一个人喜欢的电影在2年前和2年后很可能是不同的}。在全局近邻模型中可以很容易加入时间信息：

r^ui=μ+bu(tui)+bi(tui)+|Rk(i;u)|−12∑j∈Rk(i;u)e−βu|tui−tuj|{wij(ruj−buj)+cij}

bu(tui),bi(tui) 是 bu,bi 的时间函数，详见博文” 矩阵分解协同过滤“。 e−βu|tui−tuj| 是指数衰退函数，如果用户u对item j的评分是在很久之前，那么item j的评分对现在的影响不大，用指数函数缩小其权重。其他项和原始的全局近邻模型一样，保持不变。

九、参考资料

Recommender Systems Handbook