背包系列第四篇----完全背包(求解最大价值)

一:问题

完全背包问题描述:一个容量为V的背包。现在有N种物品,每种物品有无数个,每种物品的体积是C1,C2,…,Cn,对应的每种的价值是W1,W2,…,Wn.。试问,在不超过背包容量的情况下,物品装入背包的最大价值?

二:分析理解

先来看下完全背包和01背包的区别,我们再来看下什么是01背包?

01背包问题描述:一个容量为V的背包。现在有N种物品,每种物品只有一个,每种物品的体积是C1,C2,…,Cn,对应的每种的价值是W1,W2,…,Wn.。试问,在不超过背包容量的情况下,物品装入背包的最大价值?

注意以上两个红字部分,是的,它们的唯一区别就是完全背包每种物品有无数个,而01背包只能有1个。

01背包的时候,对于第i种物品,你只有两种选择,选择0次或者选择1次。

完全背包的时候,对于第i种物品,你可以选择0次,选择1次,选择2次,选择3次,,,,,,

我们来简单看下01背包和完全背包的对比代码:

//01背包
for (int i = 1; i <= N; i++)  
{  
    for (int j = 0; j <= V; j++)  
    {  
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];//假设第i个不取  
        if (j - v[i] >= 0 && dp[i][j] < dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])//如果比它大,再取第i个  
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - v[i]] + w[i];  
    }  
}  

//完全背包
for (int i = 1; i <= N; i++)
{
    for (int j = 0; j <= V; j++)
    {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j];//取0次
        if (j - v[i] >= 0 && dp[i][j] < dp[i][j - v[i]] + w[i])//取1次,取2次,,,,,
            dp[i][j] = dp[i][j - v[i]] + w[i];
    }
}

不同的地方就是在第7,8行,dp[ i - 1 ][ j  -  v[ i ] ]与dp[ i ][ j  -  v[ i ] ],很容易知道dp[ i - 1 ][ j  -  v[ i ] ]里的第i种物品被选择了0次,而dp[ i ][ j  -  v[ i ] ]呢,里边可能已经选择了第i种物品。

三:代码

#include<iostream>  
#include<algorithm>  

using namespace std;

#define N 6
#define V 10                         //背包容量

int w[N + 1] = { 0,2,3,1,4,6,5 };    //6个物品的价值,第一个0除外
int v[N + 1] = { 0,5,6,5,1,19,7 };   //6个物品的体积,第一个0除外
int dp[N + 5][V + 5];

int main()
{
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= V; j++)
		{
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];//取0次
			if (j - v[i] >= 0 && dp[i][j] < dp[i][j - v[i]] + w[i])//取1次,取2次,,,,,
				dp[i][j] = dp[i][j - v[i]] + w[i];
		}
	}

	printf("最大价值是:%d\n", dp[N][V]);

	return 0;
}

四:数据测试



五:优化后的代码

像01背包那样,dp[ i ][ j ]也是可以优化成dp[ j ]。代码如下:

#include<iostream>  
#include<algorithm>  

using namespace std;

#define N 6
#define V 10                         //背包容量

int w[N + 1] = { 0,2,3,1,4,6,5 };    //6个物品的价值,第一个0除外
int v[N + 1] = { 0,5,6,5,1,19,7 };   //6个物品的体积,第一个0除外
int dp[V + 5];

int main()
{
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = v[i]; j <= V; j++)
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);

	printf("最大价值是:%d\n", dp[V]);

	return 0;
}

细心的读者发现,优化的代码和01背包优化后的代码很相似,是的,读者不妨再把本系列的第一篇文章拿来看看,它们的差别就是:

for ( int j = v[ i ]; j <= V; j++ )   //完全背包优化代码

for ( int j = V; j <= v[ i ]; j-- )    //01背包优化代码

这里就留给读者自己思考吧,不难的。

可能读者学到这里感觉已经混乱了,不要着急,如果看了一遍就懂了背包问题,那这也未免太简单了,心急吃不了热豆腐,这些文章多看几遍,多看几遍,多看几遍,自然就懂了,要有耐心!!!


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